Стержень заданных размеров с защемлёнными концами находится под действием осевых сосредоточенных сил P, линейно распределённой нагрузки с интенсивностью q и температуры ΔT.
Требуется:
1. Определить опорные реакции.
2. Построить эпюры:
2.1. Нормальных сил NХ;
2.2. Нормальных напряжений σХ;
2.3. Относительных линейных деформаций εХ;
2.4. Осевых перемещений поперечных сечений U.
3. На участке бруса, где напряжение σХ по модулю максимально, определить:
3.1. Относительные поперечные деформации εy, εz;
3.2. Относительное изменение объёма εv.
4. Проверить прочность стержня
Исходные данные: а=0,5 м; Р=50 кН; q=60 кН/м; d= 10 см; ΔT=-400; материал сталь, ϬТ=300 МПа; Е=2·105 МПа; μ=0,3, α=12·10-6 град-1, nт=1,6.
Решение
Определим степень статической неопределимости системы по формуле n=R-y,
где R=2, так как неизвестны две реакции опоры RA и RB;
y=1, потому что из трех уравнений равновесия для плоской системы сил стержня можно составить только одно уравнение равновесия:
Px=0; -RA-4P+qa+P+RB=0
В результате получим n=R-y=2-1=1, то есть система один раз статически неопределима.
Раскроем статическую неопределимость системы.
Отбрасывая опору В и заменяя ее реакцией связи RB, получаем основную систему, которая будет статически определима.
Величину реакции связи RB найдем из условия, что полная деформация стержня равна нулю.
Составляем уравнение совместности деформации: ∆lΣ=∆lRB+∆lP+∆l4P+∆lq+∆lT=0
Определим площади участков: на участке диаметром d площадь равна А=πd2/4=78,5 см2, тогда на участке диаметром 2d площадь равна 4А.
Применяя принцип независимости действия сил, найдем перемещение сечения В стержня отдельно от внешних сил, воздействия температуры и неизвестной реакции RВ.
Прикладываем к основной системе реакцию опоры RВ и находим
∆lRB=RB∙2aE∙4A+RB∙aE∙A=RB∙3aE∙2A=RB∙4,777∙10-10
Прикладываем к основной системе внешнюю силу P и находим
∆lP=P∙2aE∙4A=P∙aE∙2A=0,0796∙10-4 м
Прикладываем к основной системе внешнюю силу 4P и находим
∆l4P=-4P∙aE∙4A=-P∙aE∙A=-0,1592∙10-4 м
Прикладываем к основной системе распределённую нагрузку q и находим
∆lq=q∙a22∙E∙4A+q∙a∙aE∙4A=3q∙a28∙E∙A=0,0358∙10-4 м
Прикладываем к правому участку основной системы разность температур ΔT и находим
∆lT=α∙a∙∆t=12∙10-6∙0,5∙-40=-2,4∙10-4 м
Подставляем полученные значения деформаций в уравнение совместности деформации:
∆lΣ=RB∙4,777∙10-10+(0,0796-0,1592+0,0358-2,4)∙10-4=0
Решая полученное уравнение, находим
RB=509,5∙103 Н=509,5 кН.
Знак плюс показывает, что направление реакции RВ выбрано верно.
Далее задача решается как статически определимая.
Опорную реакцию RA определим из уравнения
Px=0; -RA-4P+q∙a+P+RB=0
Откуда RА=389,5 кН
Построим эпюры нормальной силы Nx, нормального напряжения Ϭx:
Делим стержень на участки и присваиваем номер каждому участку.
Методом сечений определяем продольную силу на каждом участке
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
