Стержень состоит из двух частей одинаковой поперечной площади S, но из различных материалов (см. рис. ниже)
Рис. 1
Стержень теплоизолирован по торцам и боковой поверхности, не имеет внутренних источников тепла. Начальное распределение температур: в левой части T1, в правой части T2.
1. Составить математическую модель определения температуры в каждой точке стержня в каждый момент времени.
2. Можно ли решить задачу методом Фурье? (Ответ обосновать).
Решение
1) Составим математическую модель распространения тепла в стержне стержня.
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало совместим с левым концом стержня, рис.2. Поперечный размер сечения стержня достаточно мал по сравнению с его длиной, поэтому изотермические поверхности можно считать плоскостями перпендикулярными стержню, тогда температура будет функцией только одной пространственной координаты x∈[0,L1+L2], т.е. u=u(x,t).
Рис. 2
1) Если (0<x<L1) и (L1<x<L1+L2)
Составим уравнение баланса энергии для элемента стержня отсекаемого плоскостями x и x+∆x. По закону Фурье поток тепловой энергии пропорционален градиенту температуры
q=-k grad u,
где k − коэффициент теплопроводности. Знак минус означает, что тепло распространяется противоположно градиенту температуры, т.е. из областей с большей температурой в область с меньшей температурой.
В одномерном случае через площадку S в сечении x за интервал времени ∆t в объем поступит количество тепла
Q1=-k∂ux,t∂xS∆t.
Аналогично, через площадку в сечении x+∆x поступает тепло
Q2=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t
Формулы для Q1 и Q2 отличаются знаками, потому что нормаль в сечении x+∆x совпадает с направлением оси x, а в сечении x противоположна.
Через боковую поверхность стержня тепло не поступает.
В результате этих потоков изменение энергии объема ∆V=S∆x за время ∆t равно
Q=cρ∂u∂tS∆x∆t,
где c − теплоемкость; ρ − плотность материала стержня.
Баланс энергии
Q=Q1+Q2,
приводит к уравнению
cρ∂u(x*,t)∂tS∆x∆t=k∂ux+∆x ,t∂xS∆t-k∂ux,t∂xS∆t
(1)
где x*∈(x,x+∆x).
Делим обе части равенства на cρS∆x∆t и осуществим предельный переход ∆x→0, получим
∂u∂t=kcρlim∆x→01∆x∂ux+∆x ,t∂x-∂ux,t∂x
Следовательно, дифференциальное уравнение распространения тепла в стержне
∂u∂t=kcρ∂2ux,t∂x2,
(2)
Материал каждой из двух частей составного стержня однороден
. Введем обозначение a2=k/cρ (коэффициент температуропроводности). Уравнение теплопроводности для левого стержня примет вид.
u1t=a12u1xx, a12=k1c1ρ1, 0<x<L1, t>0.
(3')
Аналогично, для правого стержня
u2t=a22u2xx, a22=k2c2ρ2, L1<x<L1+L2, t>0.
(3'')
2) Чтобы получить граничное условие надо рассмотреть баланс тепла для элементов примыкающих к границам.
Получим, например, граничное условие на левом торце стержня. рассмотрим элемент [0, ∆x], примыкающий к левой границе x=0. Поскольку поток через эту границу нулевой (край стержня теплоизолирован), Q1=0, уравнение баланса примет вид
c1ρ1S∆x∆t∂u1(x*,t)∂t=k1∆tS∂u1∆x,t∂x,
где x*∈(0,∆x).
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим
k1∆tS∂u1∆x,t∂x=0.
Следовательно, граничное условие будет
∂u10,t∂x=0.
(4')
Аналогично получается граничное условие для правого теплоизолированного торца
∂u2L1+L2,t∂x=0.
(4'')
3) В точке (x=L1) необходимо условие согласования для температуры правой и левой частей стержня
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
