Стержень длиной L и площадью поперечного сечения S неравномерно нагрет (на рис

1) Составим математическую модель продольных колебаний стержня.
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало оси совпадает с левым концом стержня, рис. 2. Пусть x − координата сечения pq стержня, когда он находится в покое. Будем рассматривать малые продольные колебания стержня. В этом случае внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня.
Рис.2
Смещение сечения pq в момент t обозначим через u(x,t). Смещение сечения в точке x+∆x будет
ux+∆x,t≅ux,t+uxx,t∆x.
Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет ux(x,t). По закону упругости Гука сила натяжения в этом сечении будет
F(x)=E(x)Suxx,t,
где S − площадь поперечного сечения стержня, E(x)=E(T(x)) − модуль упругости материала стержня.
Аналогично, сила натяжения в сечении p'q' (x+∆x) будет
Fx+∆x=Ex+∆xSuxx+∆x,t.
Равнодействующая сил натяжения будет
Fx+∆x-F(x)=SEx+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t
Считаем, что других объемных сил на элемент стержня pqp'q' не действует.
Произведение массы элемента стержня pqp'q' на ускорение равно ρS∆xutt.
Уравнение движения этого элемента (уравнение Ньютона) имеет вид
ρSutt∆x= SEx+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t
(1)
Разделив обе части уравнения на ρS∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим
utt=1ρlim∆x→0Ex+∆xuxx+∆x,t-Exuxx,t∆x=1ρ∂∂xE∂u∂x.
Следовательно, дифференциальное уравнение продольных колебаний стрежня
∂2u∂t2=1ρ∂∂xE∂u∂x, 0<x<L, t>0.
(2)
Учитывая, что Ex=E(Tx), это уравнение можно записать в другом виде
∂2u∂t2=1ρE∂2u∂x2+dEdT∙dTdx∙∂u∂x, 0<x<L, t>0.
(2')
Чтобы получить граничные условия надо аналогично записать уравнения Ньютона для элементов, примыкающих к краям стержня.
Получим граничное условие для левого края стержня x=0 при t>0, когда этот край свободен . Напишем уравнение движения Ньютона для элемента (0,∆x). На этот элемент в сечении ∆x будет действовать сила натяжения, равная
F∆x, t=E(∆x)Sux∆x,t.
В сечении x=0 никакие силы не действую (край свободен)
Уравнение Ньютона для элемента (0,∆x) стержня примет вид
ρS∆xuttx,t=E(∆x)Sux∆x,t.
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим условие
0=E(0)Sux0,t.
Разделив на E(0)S, получим граничное условие
ux0,t=0, t>0.
(3)
Аналогично получается граничное условие для правого свободного края
uxL,t=0, t>0.
(4)
В начальный момент времени t=0 стержень имел некоторую начальную деформацию Ux, вызванную продольной силами P и -P, а начальные скорости точек стержня равнялись нулю