Стальная болванка размерами 0,1×0,2×0,3 м, имеющая начальную температуру t0=675 °С, помещена в масляную ванну с температурой tж=30 °С. Коэффициент теплоотдачи на поверхности болванки принимаем равным α=1000 Втм2×°С. Теплопроводность, теплоемкость и плотность стали принимаем равными λ=41 Втм×°С, c=0,5кДжкг×К, ρ=7700кгм3. Определить все возможные температуры болванки, среднюю температуру болванки и количество отведенной от болванки теплоты через τ=5 мин после начала ее охлаждения.
Построить графики распределения температуры на осях симметрии болванки, проходящих через ее центр.
Решение
Вдоль длины 0,1 м:
Критерии Био и Фурье:
Bi=α×0,5×lλ=1000×0,0541=1,22
Fo=ɑ×τl2=λс×ρ×τl2=1×10-5×3000,01=0,3
μ12=31+3Bi×1-0,21+3Bi2=31+31,22×1-0,21+31,222=0,853→μ1=0,923
θx=0=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cosμ1×X×exp-μ12×Fo=2×0,050,923+0,05×0,998×1×exp-0,923×0,3=0,08
θx=δ=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cos(μ1×X)×exp-μ12×Fo=2×0,050,923+0,05×0,998×0,998×exp-0,923×0,3=0,078
В условиях охлаждения пластины для безразмерной температуры справедливо:
θ=t-tжt0-tж
tx=0=tж+θx=0×t0-tж=30+0,08×675-30=81,6 °С - в середине,
tx=δ=tж+θx=δ×t0-tж=30+0,078×675-30=80,31 °С - на поверхности.
Количество теплоты, отданное пластиной за период охлаждения:
Q=Qп×1-θ
Qп=2×δ×f×c×t0-tж
θ=2×sinμ12μ12+μ1×sinμ1×cosμ1×exp-μ12×Fo=2×0,0520,853+0,923×0,05×0,998×exp-0,853×0,3=0,0043
Q=2×l×f×c×t0-tж×1-θ=2×0,1×1×0,5×675-30×1-0,0043=64,22 МДж
Вдоль длины 0,2 м:
Критерии Био и Фурье:
Bi=α×0,5×lλ=1000×0,141=2,44
Fo=ɑ×τl2=λс×ρ×τl2=1×10-5×3000,04=0,075
μ12=31+3Bi×1-0,21+3Bi2=31+32,44×1-0,21+32,442=1,29→μ1=1,136
θx=0=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cosμ1×X×exp-μ12×Fo=2×0,3531,136+0,353×0,935×1×exp-1,29×0,075=0,437
θx=δ=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cos(μ1×X)×exp-μ12×Fo=2×0,3531,136+0,353×0,935×0,935×exp-1,29×0,075=0,406
В условиях охлаждения пластины для безразмерной температуры справедливо:
θ=t-tжt0-tж
tx=0=tж+θx=0×t0-tж=30+0,437×675-30=311,865 °С - в середине,
tx=δ=tж+θx=δ×t0-tж=30+0,406×675-30=291,87 °С - на поверхности.
Количество теплоты, отданное пластиной за период охлаждения:
Q=Qп×1-θ
Qп=2×δ×f×c×t0-tж
θ=2×sinμ12μ12+μ1×sinμ1×cosμ1×exp-μ12×Fo=2×0,35321,29+1,136×0,353×0,935×exp-1,29×0,075=0,136
Q=2×δ×f×c×t0-tж×1-θ=2×0,2×1×0,5×675-30×1-0,136=111,456 МДж
Вдоль длины 0,3 м:
Критерии Био и Фурье:
Bi=α×0,5×lλ=1000×0,1541=3,66
Fo=ɑ×τl2=λс×ρ×τl2=1×10-5×3000,09=0,034
μ12=31+3Bi×1-0,21+3Bi2=31+33,66×1-0,21+33,662=1,55→μ1=1,25
θx=0=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cosμ1×X×exp-μ12×Fo=2×0,0681,25+0,068×0,997×1×exp-1,55×0,034=0,1
θx=δ=2×sinμ1μ1+sinμ1×cosμ1×cos(μ1×X)×exp-μ12×Fo=2×0,0681,25+0,068×0,997×0,997×exp-1,55×0,034=0,0997
В условиях охлаждения пластины для безразмерной температуры справедливо:
θ=t-tжt0-tж
tx=0=tж+θx=0×t0-tж=30+0,1×675-30=94,5 °С - в середине,
tx=δ=tж+θx=δ×t0-tж=30+0,0997×675-30=94,3 °С - на поверхности.
Количество теплоты, отданное пластиной за период охлаждения:
Q=Qп×1-θ
Qп=2×δ×f×c×t0-tж
θ=2×sinμ12μ12+μ1×sinμ1×cosμ1×exp-μ12×Fo=2×0,06821,55+1,25×0,068×0,997×exp-1,55×0,034=0,0054
Q=2×δ×f×c×t0-tж×1-θ=2×0,3×1×0,5×675-30×1-0,0054=192,46 МДж
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
