Сравнение различных систем массового обслуживания. Сравните по основным характеристикам

1. Система массового обслуживания с отказами с двумя обслуживающими серверами.
Граф состояний СМО имеет вид:
Записываем выражения для вероятностей состояний:
P1=λμP0=ρP0
P2=λ2μP1=ρ22P0
Исходя из условия нормировки, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+ρ+ρ22=22+2ρ+ρ2
Тогда вероятность отказа для двухканальной СМО составит:
Pотк,µ=P2=ρ22P0=ρ22+2ρ+ρ2
А относительная пропускная способность:
Q=1-Pотк=1-ρ22+2ρ+ρ2=2+2ρ2+2ρ+ρ2
2 . Система массового обслуживания с отказами с одним обслуживающим сервером, но с удвоенной производительностью.
Граф состояний СМО имеет вид:
Записываем выражение для вероятностей состояния S1:
P1=λ2μP0=ρ2P0
Исходя из условия нормировки, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+ρ2=22+ρ
Тогда вероятность отказа для одноканальной СМО с удвоенной производительностью:
Pотк,2µ=P1=ρ2P0=ρ2+ρ
А относительная пропускная способность:
Q=1-Pотк=1-ρ2+ρ=22+ρ
Чтобы сравнить две рассмотренные системы по качеству обслуживания заявок, найдем разность между вероятностями отказов в СМО с удвоенной производительностью и СМО с двум серверами:
Pотк,2µ-Pотк,µ=22+ρ-ρ22+2ρ+ρ2=ρ2+2ρ+ρ2-ρ22+ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2=
=2ρ2+2ρ2+2ρ+ρ2>0
Как видим, вероятность отказа в системе с одним сервером (пусть и удвоенной производительностью) больше, чем в системе с двумя серверами (а пропускная способность, как следствие – меньше), что говорит о том, что система с двумя серверами является более предпочтительной, чем системе с удвоенной производительностью, но с одним сервером.