Составить математическую модель задачи решить задачу графическим и симплекс-методом

Составим математическую модель задачи. Обозначим x1 и x2 – количество единиц кирпича марки K1 и K2, соответственно.
Тогда прибыль, получаемая от реализации продукции, составит
F=5x1+8x2→max
На выпуск продукции будет израсходовано соответственно
4x1+2x2 – глины вида S1;
2x1+3x2 – глины вида S2;
x1+4x2 – глины вида S3.
Учитывая запасы глины различных видов на заводе, получаем ограничения:
4x1+x2≤322x1+3x2≤32x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0
Следовательно, математическая модель задачи примет вид:
F=5x1+8x2→max
4x1+x2≤322x1+3x2≤32x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0
Решить задачу линейного программирования графическим методом.
Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:
4x1+x2=32→12x1+3x2=32→2x1+4x2=36→3
Прямую линию строим по двум точкам.
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства.
Так, например, подставим координаты точки O0;0 в левую часть первого и второго ограничения:
4x1+x2=4∙0+1∙0=0≤32
2x1+3x2=2∙0+3∙0=0≤32
x1+4x2=1∙0+4∙0=0≤36
Так как координаты этой точки удовлетворяют данным неравенствам, то это значит, что данная полуплоскость включает начало координат.
Штриховкой отметим найденные полуплоскости.
Областью допустимых решений (ОДР) является закрашенная область, представленная областью ABCDE.
Найдем в этой области оптимальное решение.
Вначале построим вектор c, координаты которого равны частным производным функции fx по переменным x1 и x2: c=∂F∂x1;∂F∂x2=5;8 . Этот вектор является градиентом функции fx=5x1+8x2 и указывает направление возрастания ее значений.
Зафиксируем какое-нибудь значение функции fx=const, получим линейное уравнение 5x1+8x2=const, графиком которого является прямая, называемая линией уровня. Градиент перпендикулярен линиям уровня.
Построим линию уровня целевой функции для значения f=0.
Решим данную задачу на максимум, т.е. fx=5x1+8x2→max.
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до первого касания с ОДР, то есть до точки C, координаты которой находятся как решение системы уравнений:
2x1+3x2=32x1+4x2=36
Из второго уравнения выразим x1 и подставим в первое уравнение
x1=36-4x2
236-4x2+3x2=32
72-8x2+3x2=32
-5x2=-40
x2=8
x1=36-4x2=36-4∙8=36-32=4
Получаем оптимальное решение задачи: x1*=4 и x2*=8.
Максимальное значение целевой функции при этом составит
maxfx=5∙4+8∙8=20+64=84
Вывод:
Для получения максимальной прибыли кирпичный завод должен выпускать 4 кирпича первой марки и 8 кирпичей второй марки. Причем прибыль от их реализации будет равна 88 усл. ед..
Симплекс-метод.
F=5x1+8x2→max
4x1+x2≤322x1+3x2≤32x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0
Необходимо найти оптимальный опорный план, то есть такие значения x1 и x2, при которых значение целевой функции будет максимальным.
Построим начальный опорный план задачи