Случайный вектор x y равномерно распределен в треугольникеA-5

Сделаем схематический рисунок:
1) Записываем уравнения сторон по координатам двух точек x1;y`1,x2;y2 по формуле:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Сторона AB:
x+59=y+77 y=7x-289;x=9y+287
Сторона AC:
x+59=y+716 y=16x+179;x=9y-1716
Сторона BC:
x=4
Т.е. треугольник можно задать следующим образом:
- относительно y:
D1=-5≤x≤47x-289≤y≤16x+179
- относительно x:
D2=-7≤y≤09y-1716≤x≤9y+2870≤y≤99y-1716≤x≤4
2) Найдем площадь треугольника:
S∆=-5416x+179-7x-289dx=-54x+5dx=x+522-54=812
Т.к. случайный вектор x;y равномерно распределен в треугольнике, то двумерная плотность равна:
fx,y=281,x,y∈D10, иначе
3) Найдем одномерные плотности вероятности по формулам:
fXx=-∞∞f(x,y)dy;fyy=-∞∞f(x,y)dx
В нашем случае:
fXx=7x-28916x+179281dy=281y7x-28916x+179=281x+5
Т.е.:
fXx=281x+5;-5≤x≤40;иначе
Для одномерной плотности fyy вычисляем два интеграла:
- на интервале -7≤y≤0:
fyy=9y-17169y+287281dx=281x9y-17169y+287=2819y+287-9y-1716=y+756
- на интервале 0≤y≤9:
fyy=9y-17164281dx=2814-9y-1716=9-y72
Т.е.:
fyy=0;y≤-7y+756;-7<y≤09-y72;0<y≤90;y>9
4) Найдем функции распределения по формуле:
Fx=-∞xftdt
Для компоненты x на интервале -5≤x≤4 имеем:
Fx=-5x281t+5dt=t+5281-5x=x+5281
Т.е.:
Fx=0;x≤-5x+5281;-5<x≤40;x>4
Для компоненты y на интервале -7<y≤0 имеем:
Fy=-7yt+756dt=t+72112-7y=y+72112
А на интервале 0<y≤9 имеем:
Fy=F0+0y9-y72dt=49112-9-t21440y=1-9-y2144
Т.е.:
Fy=0;y≤-7y+72112;-7<y≤01-9-y2144;0<y≤91;y>9
5) Находим математические ожидания по формуле:
Mx=-∞∞xfxdx
В нашем случае:
Mx=-542x81x+5dx=2x3243+5x281-54=1
My=-70yy+756dy+09y9-y72dy=y3168+y216-70+y216-y321609=23≈0,667
Таким образом, центр рассеивания есть точка M=1;23.
Изобразим ее на рисунке:
6) Находим дисперсии по формуле:
Dx=-∞∞x2fxdx-Mx2
В нашем случае:
Dx=-542x281x+5dx-12=x4162+10x3243-54-1=92=4,5
Dy=-70y2y+756dy+09y29-y72dy-232=
=y4224+y324-70+y324-y428809-49=19318≈10,722
Среднеквадратические отклонения:
σx=Dx=4,5≈2,121
σy=Dy=10,722≈3,274
7)Найти Rxy и Kxy