Случайный вектор имеет плотность распределения fξ ηx y=0 x y∉ Dk3x-4y

Начертим область D (треугольник OAB), где по условию задачи A0;-1, B1;0, O0;0. Соответственно, уравнение прямой AB имеет вид:
x-0y+1=1-00+1,y=x-1.
уравнение прямой OB имеет вид: y=0, уравнение прямой OA имеет вид: x=0.
Из условия нормировки найдем параметр k:
01dxx-10k3x-4ydy=1.
x-10k3x-4ydy=-k3xy-2y20x-1=-k3xx-1-2x-12=-k3x2-3x-2x2+4x-2=-kx2+x-2.
01-kx2+x-2dx=-kx33+x22-2x01=-k13+12-2=7k6.
7k6=1,k=67.
Тогда совместная плотность распределения имеет вид:
fξ,ηx,y=0, x,y∉ D673x-4y, x,y∈ D.
Плотность распределения случайной величины ξ:
fξx=x-10fξ,ηx,ydy=x-10673x-4ydy=673xy-2y2x-10=-673xx-1-2x-12=-67x2+x-2 при 0≤x≤1.
fξx=-67x2+x-2, x∈0;10,x∉0;1.
Условие нормировки плотности вероятности выполняется верно:
01-67x2+x-2dx=-67x33+x22-2x01=-6713+12-2=1.
Построим fξx:
Плотность распределения случайной величины η:
fηy=0y+1fξ,ηx,ydx=0y+1673x-4ydx=673x22-4xy0y+1=6732y2+2y+1-4yy+1=6732y2+3y+32-4y2-4y=67-52y2-y+32=-6752y2+y-32=-375y2+2y-3.
fηy=-375y2+2y-3, y∈-1;00,y∉-1;0.
Построим fηy:
Условие нормировки выполняется верно:
-10-375y2+2y-3dy=-3753y3+y2-3y-10=37-53+1+3=1.
Выясним, зависимы или нет С.В . ξ и η. Рассмотрим произведение:
fξxfηy=-67x2+x-2∙-375y2+2y-3≠fξ,ηx,y.
Следовательно, ξ и η зависимы.
Функцию распределения случайной величины ζ=ξ+ξ, найдем следующим образом:
Fζz=PZ<z=FζX+Y<z=Fζz.
Если z≤0, то Fζz=0;
Если 0≤z<1, то
Fζz=12-z0dyy+1z-y673x-4ydx+z-y1673x-4ydx;
y+1z-y673x-4ydx=6732x2y-4xyy+1z-y=6732z-y2y-32y+12y-4z-yy+4y+1y=3716y2-14yz+2y+3z2-3;
z-y1673x-4ydx=6732x2y-4xyz-y1=6732y-4y-32z-y2y+4z-yy=-3711y2-14yz+8y+3z2-3;
3716y2-14yz+2y+3z2-3-3711y2-14yz+8y+3z2-3=375y2-6y;
Fζz=12-z0375y2-6ydy=31453y3-3y2-z0=-314-53z3-3z2=1145z3+9z2.
Если z≥1, то
Fζz=1.
Таким образом, получим:
Fζz=0,z≤-0,1145z3+9z2,0≤z<1,1,z≥1.
Тогда плотность распределения случайной величины ζ=ξ+ξ:
fζz=Fζz' имеет вид:
fζz=0,z≤0,z≥1,11415z2+18z,0≤z<1.
Условие нормировки выполняется верно:
0111415z2+18zdz=1145z3+9z201=11414-0=1.
Построим fζz:
Найдем числовые характеристики системы.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины x, все возможные значения которой принадлежат интервалуα;β, равно:
MX=αβxfxxdx.
В нашем случае, получим математическое ожидание случайной величины x:
MX=01-67xx2+x-2dx=01-67x3+x2-2xdx=-67x44+x33-x201=-6714+13-1=514≈0,357.
Или второй способ:
MX=01dxx-1067x3x-4ydy.
x-1067x3x-4ydy=-67x3xy-2y20x-1=-67x3xx-1-2x-12=-67x3x2-3x-2x2+4x-2=-67xx2+x-2.
01-67xx2+x-2dx=514≈0,357.
Второй начальный момент x:
MX2=αβx2fxxdx
В нашем случае, получим:
MX2=01-67x2x2+x-2dx=01-67x4+x3-2x2dx=-67x55+x44-2x3301=-6715+14-23=1370≈0,186.
Дисперсия случайной величины x:
DX=MX2-MX2=1370-25196=57980≈0,058.
Среднее квадратическое отклонение x:
σx=DX=57145=28570≈0,241.
Математическое ожидание случайной величины y:
MY=-10-37y5y2+2y-3dy=-10-375y3+2y2-3ydy=-3754y4+23y3-32y2-10=-37-54-23-32=-1128≈-0,393.
MY2=-10-37y25y2+2y-3dy=-10-375y4+2y3-3y2dy=-37y5+12y4-y3-10=-37--1+12+1=314≈0,214.
Дисперсия случайной величины y:
DY=314-121784=47784≈0,060.
Среднее квадратическое отклонение y:
σy=DY=4728≈0,245.
Ковариация (x,y) равна:
covx,y=-10dy0y+1x-MXy-MY fξ,ηx,ydx;
covx,y=-10dy0y+1x-514y+1128 673x-4ydx.
Вычислим отдельно:
0y+1673x2y+3328x2-1514xy-165392x-4xy2-117xy+107y2+5598y=0y+1x2187y+9998+x-247y2-11149y-4951372+6049y2+165343ydx=x367y+3398+x2-127y2-11198y-4952744+x6049y2+165343y0y+1=y3+3y2+3y+167y+3398+y2+2y+1-127y2-11198y-4952744+y+16049y2+165343y=-67y4-37y3+30932744y2+11731372y+4292744;
-10-67y4-37y3+30932744y2+11731372y+4292744dy=-635y5-328y4+10312744y3+11732744y2+4292744y-10=0-635-328-10312744+11732744-4292744=791960≈0,040.
Коэффициент корреляции (x,y) равен:
rx,y=cov(x,y)DXDY
rx,y=79196028570∙4728=791960∙196013395=791339513395≈0,683.
Математическое ожидание случайной величины z:
MZ=01114z15z2+18zdz=0111415z3+18z2dz=114154z4+6z301=114154+6-0=3956≈0,696.
MZ2=01114z215z2+18zdz=0111415z4+18z3dz=1143z5+92z401=1143+92-0=1528≈0,536.
Дисперсия случайной величины z:
DZ=1528-15213136=1593136≈0,051.
Среднее квадратическое отклонение z:
σz=Dz=15956≈0,225.