Случайный вектор ξ η распределен равномерно в области G. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
Случайный вектор ξ η распределен равномерно в области G

Случайный вектор ξ η распределен равномерно в области G .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Случайный вектор ξ,η распределен равномерно в области G, изображенной на рисунке Найти плотность распределения вероятностей компонент случайного вектора и решить вопрос об их зависимости или независимости. Выяснить, коррелированы ли компоненты случайного вектора ξ, η. Найти Pξ, η∈D, где D=x,yx2+y2≤1.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найти плотность распределения вероятностей компонент случайного вектора и решить вопрос об их зависимости или независимости.
Двумерная плотность распределения
fx, y=C, 0≤y≤1, -1≤x≤1-y,0, иначе.
Неизвестную константу C определим, использовав свойство плотности распределения
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=01-11-yCdxdy=C011-y+1dy=C012-ydy=C2y-y2201=C2-12=32C=1 ⟹C=23
Проверим геометрически полученный результат. Воспользуемся тем, что -∞∞-∞∞fx,ydxdy равен объему призмы, основанием которой является прямоугольная трапеция
V=h∙S=C∙12∙1∙2+1=C∙32 ⟹ C=23
Двумерная плотность распределения имеет вид
fx, y=23, 0≤y≤1, -1≤x≤1-y,0, иначе.
Определим плотности распределения составляющих.
Найдем плотность распределения fξx
При -1≤x<0
fξx=-∞∞fx,ydy=0123dy=23y01=23
При 0≤x≤1
fξx=-∞∞fx,ydy=01-x23dy=23y01-x=231-x
Плотность распределения имеет вид
fξx=0, x<-123, -1≤x<0231-x, 0≤x≤10, x>1
Найдем плотность распределения fηy
При 0≤y≤1
fηy=-∞∞fx,ydx=-11-y23dx=23x-11-y=231-y+1=232-y
Плотность распределения имеет вид
fηy=0, y<0232-y, 0≤y≤10, y>1
Поскольку fx,y≠fξx∙fηy, случайные величины ξ и η зависимы.
Выяснить, коррелированы ли компоненты случайного вектора ξ, η.
Найдем коэффициент корреляции
rξη=Kξησξση=Mξη-Mξ∙Mησξση
Mξη=-∞∞-∞∞xyfx,ydxdy=01-11-y23xydxdy=2301y1-y22-12dy=2301y1-2y+y2-12dy=1301-2y2+y3dy=13-2y33+y4401=13-23+14=-13∙512=-536
Mξ=-∞∞xfξxdx=-1023xdx+01x231-xdx=-1023xdx+0123x-x2dx=13x2-10+23x22-x3301=-13+2312-13=-13+19=-29
Dξ=-∞∞x2fξxdx-Mξ2=-1023x2dx+01x2231-xdx--292=-1023x2dx+0123x2-x3dx-481=29x3-10+23x33-x4401-481=29+2313-14-481=29+236-481=1036-481=90-16324=74324=37162
Mη=-∞∞yfηydy=01y232-ydy=01232y-y2dy=23y2-y3301=231-13=23∙23=49
Dη=-∞∞y2fηydy-Mη2=01y2232-ydy-492=01232y2-y3dy-1681=232y33-y4401-1681=2323-14-1681=23∙512-1681=518-1681=45-32162=13162
Коэффициент корреляции
rξη=Mξη-Mξ∙Mησξση=-536--29∙4937162∙13162=-536+881481162=-45+32324481162=-13324∙162481=-132481≈-0,2964
Так как rξη≠0, то компоненты случайного вектора ξ, η коррелированы.
165354028829000Найти Pξ, η∈D, где D=x,yx2+y2≤1.
Pξ, η∈D=01-1-y2023dxdy+0101-y23dxdy=01231-y2dy+01231-ydy=y=sintdy=costdty→0; t→0y→1; t→π2=230π21-sin2tcostdt+23y-y2201=230π2cos2tcostdt+231-12=230π2cos2tdt+13=130π21-cos2tdt+13=13t-12sin2t0π2+13=13∙π2+13=π6+13=π+26≈0,8569

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Случайный вектор ξ η распределен равномерно в области G

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Стрельбу по цели ведут до первого попадания

В первой урне находятся три белых и два черных шара

Из 10 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того что среди взятых наугад 4 билетов один выигрышный