Случайная величина X задана функцией распределения F(x)

Плотность распределения найдем как производную от функции распределения:
fx=F'x=12cosx2+π4, x≤π20, x>π2
Математическое ожидание найдем по формуле:
Mx=-∞∞x∙fxdx=12∙-π2π2x∙cosx2+π4dx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cosx2+π4dx
du=dx v=2sinx2+π4
=12∙2xsinx2+π4π2-π2-2-π2π2sinx2+π4=
=12∙2xsinx2+π4π2-π2+4cosx2+π4π2-π2=
=12πsinπ2+π4sin0+4cosπ2-4cos0=π2-2
Дисперсию найдем по формуле:
Dx=-∞∞x2∙fxdx-(Mx)2=12∙-π2π2x2∙cosx2+π4dx-π2-22=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=cosx2+π4dx
du=2xdx v=2sinx2+π4
=x2sinx2+π4π2-π2-2-π2π2xsinx2+π4dx-π2-22=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=sinx2+π4dx
du=dx v=-2cosx2+π4
=x2sinx2+π4π2-π2+4xcosx2+π4π2-π2-4-π2π2cosx2+π4dx-π2-22=
=x2sinx2+π4π2-π2+4xcosx2+π4π2-π2-8sinx2+π4π2-π2-π2-22=
=π24sinπ2-π24sin0+2πcosπ2+2πcos0-8sinπ2+8sin0-π2-22=
=π24+2π-8-π24+2π-4=4π-12
Среднеквадратическое отклонение:
σx=D(x)=4π-12≈0,7526
Вероятность попадания в интервал:
Pα≤x≤β=Fβ-Fα
PX-MX<σ=PMx-σ≤x≤Mx+σ
PX-π2-2<4π-12=Pπ2-2-4π+12<x<π2-2+4π-12=
=P10-7π2<x<9π2-14=F9π2-14-F10-7π2=
=sin9π4-7+π4-sin5-7π4+π4=sin5π2-7-sin-3π2+5=
=sin5π2-7-sin-3π2+5=cos7-cos5≈0,7539-0,2837=0,4702
Построим графики функции распределения и функции плотности распределения: