Случайная величина X имеет распределение Лапласа pXx=c∙e-αx-m

Значение коэффициента c находим, используя условие нормировки:
-∞∞pxdx=1
Поскольку у нас знак модуля, то представляем двумя интервалами:
- при x≤m имеем x-m=-x-m;
- при x>m имеем x-m=x-m.
Имеем:
-∞∞pXxdx=-∞mc∙eαx-mdx+m∞c∙e-αx-mdx=
=cαeαx-m-∞m-e-αx-mm∞=2cα
Тогда:
2cα=1 c=α2
Т.е. плотность распределения имеет вид:
pXx=α2e-αx-m,α>0
Определим функцию распределения, используя ее связь с плотностью распределения:
Fx=-∞xptdt
В нашем случае:
- при x≤m:
Fx=-∞xα2eαt-mdt=12eαt-m-∞x=12eαx-m
- при x>m:
Fx=Fm+mxα2e-αt-mdt=12-12e-αt-mmx=1-12e-αx-m
Получили:
FXx=12eαx-m,x≤m1-12e-αx-m,x>m
1. Рассмотрим случайную величину Y1=X+3.
Найдем ее функцию распределения . По определению:
Fx=PX<x
Тогда:
FY1x=PX+3<x=PX<x-3=FXx-3
Т.е.:
FY1x=12eαx-3-m,x≤m+31-12e-αx-3-m,x>m+3
А плотность:
pY1x=FY1'x=α2eαx-3-m,x≤m+3α2e-αx-3-m,x>m+3=α2e-αx-3-m
Находим числовые характеристики.
Математическое ожидание ввиду симметричности плотности относительно прямой x=m+3 можем сразу записать:
MY1=m+3
Находим дисперсию:
DY1=-∞∞x2pY1xdx-MY12=
=α2-∞m+3x2eαx-3-mdx+α2m+3∞x2e-αx-3-mdx-m+32
Первый интеграл:
-∞m+3x2eαx-3-mdx=u=x2du=2xdxdv=eαx-3-mdxv=1αeαx-3-m=
=x2αeαx-3-m-∞m+3-2α-∞m+3xeαx-3-mdx=u=xdu=dxdv=eαx-3-mdxv=1αeαx-3-m=
=m+32α-2αxαeαx-3-m-∞m+3-1α-∞m+3eαx-3-mdx=
=m+32α-2αm+3α-eαx-3-mα2-∞m+3=m+32α-2m+3α2+2α3
Аналогично:
m+3∞x2e-αx-3-mdx=m+32α+2m+3α2+2α3
И дисперсия равна:
DY1=
=α2∙m+32α-2m+3α2+2α3+α2∙m+32α+2m+3α2+2α3-m+32=2α2
Поскольку α>0, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y1 существуют при любых значениях параметров m,α.
2