Следующие экспериментальные данные: 6,3; 6,2; 6,3; 6,2; 6,8; 6,5; 6,2; 5,3; 6,0; 5,8; 5,9; 6,6; 6,2; 5,8; 5,9; 6,4; 6,5; 5,9; 6,1; 6,9; 6,2; 6,2; 6,3; 6,5; 7,0; 6,5; 6,9; 6,5; 6,2; 6,8; 6,1; 5,9; 6,4; 6,3; 6,5; 6,0.
Найти интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относительных частот.
Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, выборочную моду.
Проверить гипотезу о числовых значениях математического ожидания.
Решение
Найти интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относительных частот.
n=36 – объем выборки.
Для построения интервального статистического ряда найдем по формуле Стерджесса оптимальное количество интервалов
k=1+3,322∙lgn=1+3,322∙lg36≈6,17≈7
Ширина интервалов
h=xmax-xmink=7-5,37≈0,24≈0,3
За начало первого интервала примем x0=xmin =5,3. Получим последовательность интервалов.
ni – частота. wi=nin – относительные частоты.
Составим статистический ряд частот и относительных частот.
i
Интервалы
xi-1;xi
Частота
ni
Относительная частота
wi=nin
1 [5,3; 5,6] 1 0,0278
2 (5,6; 5,9] 6 0,1667
3 (5,9; 6,2] 11 0,3056
4 (6,2; 6,5] 12 0,3333
5 (6,5; 6,8] 3 0,0833
6 (6,8; 7,1] 3 0,0833
7 (7,1; 7,4] 0 0
Σ - 36 1
Для построения гистограммы относительных частот найдем плотность относительной частоты wih.
Интервалы xi-1;xi
[5,3; 5,6] (5,6; 5,9] (5,9; 6,2] (6,2; 6,5] (6,5; 6,8] (6,8; 7,1] (7,1; 7,4]
Плотность относительной частоты wih
0,0927 0,5557 1,0187 1,111 0,2777 0,2777 0
Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h=0,3
. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительных частот wih.
Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, выборочную моду.
Для нахождения выборочной средней xв, выборочной дисперсии Dв заполним вспомогательную таблицу.
i
Середина интервала
xi'
ni
xi'ni
xi'2ni
1 5,45 1 5,45 29,7025
2 5,75 6 34,5 198,375
3 6,05 11 66,55 402,6275
4 6,35 12 76,2 483,87
5 6,65 3 19,95 132,6675
6 6,95 3 20,85 144,9075
7 7,25 0 0 0
Сумма 36 223,5 1392,15
Выборочное среднее:
xв=MX=1ni=17xi'ni=223,536≈6,2083
Выборочная дисперсия:
Dв=1ni=17xi'2ni-xв2=1392,1536-6,20832≈0,1278
Выборочное среднеквадратическое отклонение:
σв=Dв=0,1278≈0,3575
Исправленная выборочная дисперсия:
s2=nn-1Dв=3635∙0,1278≈0,1315
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
s=s2=0,1315≈0,3626
Выборочная мода:
Mo=xниж+hnMo-nMo-1nMo-nMo-1+nMo-nMo+1=6,2+0,312-1112-11+12-3=6,2+0,310=6,23
xниж=6,2 – нижняя граница интервала с наибольше частотой.
nMo=12 – частота модального интервала.
nMo-1=11 – частота интервала, предшествующего модельному.
nMo+1=3 – частот интервала следующего за модальным.
Проверить гипотезу о числовых значениях математического ожидания.
n=36 – объем выборки.
xв=6,2083 – выборочное среднее.
s=0,3626 – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.
α=0,05 – уровень значимости.
μ – генеральная средняя.
На уровне значимости 0,05 проверим гипотезу о том, что генеральная средняя равна 6
H0: μ=6H1: μ≠6
Так как дисперсия генеральной совокупности нам неизвестна, то для проверки гипотезы будем использовать статистику Стьюдента.
tнабл=xв-μ0ns
μ0=6 – гипотетическое среднее.
Найдем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:
tнабл=6,2083 -6360,3626≈3,4468
Критическая область двусторонняя, так как конкурирующая гипотеза имеет вид μ≠μ0.
Найдем критическое значение для двусторонней области по таблице распределения Стьюдента:
tкритα;n-1=tкрит0,05;36-1=tкрит0,05;35≈2,03
Так как tнабл>tкрит0,05;35, то есть наблюдаемое значение попало в двустороннюю критическую область, поэтому на уровне значимость 0,05 мы отвергаем гипотезу H0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
