Система S может находиться в 4-х состояниях. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
Система S может находиться в 4-х состояниях

Система S может находиться в 4-х состояниях .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Система S может находиться в 4-х состояниях. В системе протекает марковский процесс с дискретным временем. Размеченный граф состояний этой системы: В начальный момент времени система находится во 2-м состоянии. Найти вероятности состояний на 3-м шаге. Проверить, является ли марковская цепь регулярной. Найти предельные вероятности состояний, если они существуют.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Запишем матрицу переходных вероятностей за один шаг (значения диагональных элементов находим из условия нормировки jpi,j=1):
P=0,10,30,30,30,90,10000,600,4000,70,3
Последовательно найдем матрицу переходных вероятностей за два и три шага соответственно:
P2=0,10,30,30,30,90,10000,600,4000,70,3∙0,10,30,30,30,90,10000,600,4000,70,3=
=0,280,240,240,240,180,280,270,270,540,060,280,1200,420,210,37
P3=0,280,240,240,240,180,280,270,270,540,060,280,1200,420,210,37∙0,10,30,30,30,90,10000,600,4000,70,3=
=0,2440,2520,2520,2520,2700,2440,2430,2430,1080,3360,2460,3100,3780,1680,2590,195
Как видим, уже в матрице P3 нет нулевых элементов, т.е . любое состояние системы достижимо из любого другого, т.е. марковская цепь является регулярной.
Поскольку в начальный момент времени система находится во 2-м состоянии, то распределение вероятностей состояний на 3-м шаге соответствуют второй строке матрицы P3, т.е.:
P3=0,270;0,244;0,243;0,243
Находим предельные вероятности состояний из соответствующей системы уравнений (коэффициенты в правой части системы – транспонированная матрица вероятностей переходов), дополненной нормировочным уравнением:
P1=0,1P1+0,9P2P2=0,3P1+0,1P2+0,6P3P3=0,3P1+0,7P4P4=0,3P1+0,4P3+0,3P4P1+P2+P3+P4=1
Тогда из первого уравнения:
P2=P1
Подставляя последовательно во второе и третье уравнения соответственно:
P1=0,3P1+0,1P1+0,6P3 P3=P1
P1=0,3P1+0,7P4 P4=P1
Получили, что все предельные вероятности равны между собой, тогда предельные вероятности равняются:
P1=P2=P3=P4=14

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу