Система автоматического регулирования (рис. 1) состоит из объекта управления 1
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Система автоматического регулирования (рис. 1) состоит из объекта управления 1, исполнительного устройства 2, усилителя 3, датчика 4 и элемента сравнения 5. Подобную структуру может иметь, например, система управления электроприводом, где 1 – электродвигатель, 2 – силовой преобразователь, 3 – усилитель с цепями коррекции, 4 – тахогенератор.
Рис. 1 Структурная схема системы автоматического регулирования
Уравнения элементов системы (p = d/dt):
( 0,01p2 + 0,03p + 1 )y = 2u;
u = 3x;
px = 1,5ε; y0 = 0,2y.
Требуется:
определить передаточные функции элементов САР и указать, каким типовым динамическим звеном является каждый из элементов; найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР;
построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы; пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определить устойчивость системы в замкнутом состоянии; если система устойчива, то рассчитать запас устойчивости по фазе и по амплитуде;
построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (асимптотическую амплитудно-частотную и фазо-частотную); определить критическое значение коэффициента усиления разомкнутой системы;
составить характеристическое уравнение замкнутой системы; воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица определить устойчивость замкнутой САР и критическое значение коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии; результаты сравнить с полученными в п. 2, 3.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Часть 1
Зная операторные уравнения, запишем передаточные функции (ПФ) каждого звена:
Найдём дискриминант 1 звена:
Т.к. дискриминант отрицательный, делаем вывод, что знаменатель звена W1(p) не может быть разбит на пару множителей, а само звено W1(p) является колебательным.
Звенья W2(p) и W4(p) являются пропорциональными; звено W3(p) является идеальным интегрирующим звеном.
Эквивалентная ПФ разомкнутой системы может быть найдена как произведение ПФ всех звеньев, включенных в контур:
Эквивалентная ПФ замкнутой системы:
Часть 2
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель разомкнутой системы представлен в виде последовательного соединения полинома 2 порядка со всеми положительными коэффициентами и множителя р, следовательно, разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости.
Тогда, по критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ разомкнутой системы не будет охватывать точку (-1; j0).
Для расчёта АФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа р=i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно
. Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Тогда годограф АФЧХ разомкнутой системы:
Годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1; j0), следовательно, замкнутая система устойчива.
Для оценки запасов устойчивости изменим масштаб и дополним рисунок окружностью единичного радиуса:
Запас устойчивости по фазе находится как угол между осью абсцисс и радиусом, проведенным из точки начала координат к точке пересечения годографа и окружностью единичного радиуса с центром в точке начала координат: Δφ ≈ 88 градусов.
Запас устойчивости по амплитуде может быть найден через расстояние между точкой (-1; j0) и точкой пересечения годографа оси абсцисс:
Часть 3
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель разомкнутой системы представлен в виде последовательного полинома 2 порядка со всеми положительными коэффициентами и множителя р, следовательно, разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости.
Тогда, по логарифмическому критерию, замкнутая система будет устойчива, если на частоте среза ЛАЧХ разомкнутой системы (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) значение ЛФЧХ разомкнутой системы будет составлять: φ(ω) > -180º.
Запишем уравнения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:
Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ на одном графике:
На частоте среза ЛАЧХ значение ЛФЧХ составляет > -180º, следовательно, замкнутая система устойчива.
Далее определим критическое значение коэффициента передачи разомкнутой системы, при котором замкнутая система будет находиться на колебательной границе устойчивости.
Определим текущее значение ЛАЧХ на частоте, при которой значение ЛФЧХ составляет -180 градусов:
Чтобы вывести замкнутую систему на границу устойчивости, нужно «поднять» ЛАЧХ на 4,437 дБ.
Определим, при каком коэффициенте передачи будет выполнено это условие:
Kкр = 3
Часть 4
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ замкнутой системы:
Оцениваем устойчивость замкнутой системы алгебраическим критерием Гурвица
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
