Ширина кольца 2 см средний радиус равен 3 см

Обозначим: наружный радиус R2;
Внутренний радиус R1;
Средний радиус Rср.;
Ширина кольца h.
Тогда
R1=Rср.-h2=0,02 м.
R2=Rср.+h2=0,04 м.
Внутри кольца на расстоянии r от центра выделим кольцо с элементарной шириной dr, несущий заряд dq:
dq=2πrσdr=84πr4-r2r2+2r+4-2dr
Чтобы найти вес заряд на кольце, необходимо последнее выражение интегрировать в пределах от R1 до R2:
q=R1R284πr4-r2r2+2r+4-2dr=84πR1R2r4-r2r2+2r+42dr.
Преобразуем подынтегральную правильную дробь.
r4-r2r2+2r+42=r2-r2+r2+r4=r2-r2+r3=2r-r22+r3.
Разложим на сумму простейших дробей.
2r-r22+r3≡A2+r3+B2+r2+C2+r=A+B2+r+C2+r22+r3==A+2B+Br+4C+4Cr+Cr22+r3==A+2B+4C+B+4Cr+Cr22+r3.
Так как у тождественно равных дробей знаменатели равны, то и числители тождественно равны:
2r-r2≡A+2B+4C+B+4Cr+Cr2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений
A+2B+4C=0;B+4C=2;C=-1.⟹C=-1; B=2-4C=6;A=-2B-4C=-8.
Таким образом,
2r+r22+r3≡-82+r3+62+r2-12+r
Вернемся к интегралу:
q=84πR1R2r4-r2r2+2r+42dr=84πR1R2-82+r3+62+r2-12+rdr==84πR1R2-82+r3dr+R1R262+r2dr-R1R212+rdr.
Каждое слагаемое вычислим отдельно.
R1R2-82+r3dr=-80,020,04d2+r2+r3=-80,020,042+r-3d2+r==42+r-30,020,04=4∙2+0,04-3-4∙2+0,02-3=-0,014.
R1R262+r2dr=60,020,04d(2+r)2+r2=-62+r0,020,04=-62,04+62,02=0,029
-R1R212+rdr=-0,020,04d2+r2+rdr=-ln2+r0,020,04=-ln2,04+ln2,02=-0,010.
Окончательно получим:
q=84π-0,014+0,029-0,010=1,32 мкКл.
Ответ: q=1,32 мкКл.