Схема электрической цепи показана на рис

Характеристическое уравнение цепи имеет вид
p2 R2 LC + p L + R2 = 0.
Подставив значения, получим
10-3 p2 + 0,5 p + 500 = 0.
Корни характеристического уравнения
p1 = (-250 + 661 i) с-1,
p2 = (-250 – 661 i) c-1.
. Напряжение на конденсаторе будем находить в виде суммы принужденного
и свободного значений:
V = VСпр + VСсв.
Принужденное значение напряжения на конденсаторе равно нулю.
Свободную составляющую будем искать в виде
VCсв = A e-αt sin (ωt+φ) = A e-250t sin (661 t + φ).
Для определения постоянных интегрирования составим уравнения
по законам Кирхгофа
iR = iL + iC
Ε = iR R2 + V
Запишем независимые начальные условия
V(0-) = V(0) = 0; iL(0-) = iL(0) = ΕR1+R2=0,0833 A.
Далее
iR(0) = ΕR2=0,1 А
iC0=CdVdtt=0=0,1-0,0833=0,0167 A.
Составим систему уравнений для определения А и φ
0 = A sin φ,
0,0167 = - 10-3 A sin φ + 2,644·10-3 A cos φ.
Из этой системы получаем
sin φ = 0,
φ = 0o,
A = 0,01672,644·10-3=6,316 В.
`Напряжение на конденсаторе
uC(t) = 6,316 e-250t sin 661 t, В.