Шар массой m1 = 1 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с и сталкивается с шаром массой m2 = 2 кг

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось и закон сохранения энергии:
m1v1– m2v2 = –m1u1+m2u2
m1v12/2+m2v22/2 = m1u12/2+m2u22/2
(1)
Преобразуем эти уравнения:
m2u2 = m1v1 – m2v2 + m1u1
m2u22 = m1v12 + m2v22 – m1u12
(m2u2)2 = (m1v1 – m2v2 + m1u1)2
m22u22 = m1m2v12 + m22v22 – m1m2u12
Так как левые части равенств совпадают, то можно приравнять и правые части:
(m1v1 – m2v2 + m1u1)2 = m1m2v12 + m22v22 – m1m2u12;
m12v12 + m22v22 + m12u12−2m1v1m2v2+2m1v1m1u1−2m2v2m1u1=
= m1m2v12 + m22v22 – m1m2u12;
m12v12 + m12u12−2m1v1m2v2+2m1v1m1u1−2m2v2m1u1=
= m1m2v12 – m1m2u12;
m12v12 + m12u12−2m1v1m2v2+2m1v1m1u1−2m2v2m1u1−
– m1m2v12 + m1m2u12 = 0;
(m12+m1m2)u12+2(m1v1m1−m2v2m1)u1+
+(m12v12−2m1v1m2v2−m1m2v12) = 0.
Сократим на m1:
(m1+m2)u12+2(m1v1−m2v2)u1+(m1v12−2v1m2v2−m2v12) = 0.
Получили квадратное уравнение относительно u1.
Д=4(m1v1−m2v2)2 − 4(m1+m2)(m1v12−2v1m2v2−m2v12)=
=4[m12v12 −2m1v1m2v2+m22v22−m12v12+2m1v1m2v2+m1m2v12 −
–m1m2v12+2m22v1v2+ m22v12]=4[m22v22+2m22v1v2+ m22v12]=
=4m22[v22+2v1v2+ v12]=4m22(v1+ v2)2;
u1=-2(m1v1-m2v2)±2m2(v1+v2)2(m1+m2)=-m1v1+m2v2±m2(v1+v2)m1+m2
При знаке "минус" получим:
u1=-m1v1-m2v1m1+m2=-v1
Это решение соответствует случаю, когда шары пройдут, не столкнувшись, и не изменят своей скорости