1) Сгенерируйте в любом генераторе случайных чисел (можете использовать любой математический пакет, excel, онлайн-генераторы, ботов-генераторов на ваш выбор) 15 значений. Пределы изменения случайной величины:
Xmax=891,13
Xmin=117,3
где Xmax – верхний предел значения случайной величины, Xmin – нижний предел значения случайной величины.
2) Постарайтесь, чтобы генератор случайных чисел выдавал числа с точностью до сотых (т. е., например, получиться должно число 123,45);
3) Если получить точность до сотых невозможно, умножьте верхнюю и нижнюю границы диапазонов на 100, а потом проведите генерацию чисел;
4) Считайте, что сгенерированные числа являются результатом многократных измерений частоты f (кГц);
5) Запишите получившиеся значения;
6) Постройте вариационный ряд измеренных величин;
7) Методом максимального правдоподобия найдите оценку истинного значения случайной величины для трех законов распределения: 1) нормального; 2) равномерного; 3) Лапласа;
8) Сведите полученные значения в таблицу:
Оценка истинного значения измеренной величины
Закон распределения Нормальный Равномерный Лапласа
Оценка истинного значения
9) Сделайте вывод о качестве проведенного «измерения»;
10) Постройте гистограмму распределения измеренной величины;
11) Сделайте по гистограмме вывод о получившемся законе распределения;
12) Для полученного закона распределения оцените истинное значение измеренной величины с доверительными вероятностями P=0.9 и P=0.95. Дайте точечную и интервальные оценки полученной величины. (В случае если по гистограмме закон распределения случайной величины установить не удалось – считайте закон нормальным).
Решение
Полученный массив данных с помощью ПО EXCEL с пределами изменения случайной величины Xmax=891,13 кГц и Xmin=117,3 кГц:
f, кГц
744,17
658,85
250,21
417,77
317,45
709,55
197,31
661,69
507,91
402,21
736,77
434,94
470,24
346,87
590,61
Вариационный ряд измеренных величин:
№ п/п f, кГц
1 197,31
2 250,21
3 317,45
4 346,87
5 402,21
6 417,77
7 434,94
8 470,24
9 507,91
10 590,61
11 658,85
12 661,69
13 709,55
14 736,77
15 744,17
Нормальное распределение .
Плотность распределения определяется по формуле:
Отсюда логарифмическая функция правдоподобия имеет вид
.
Наиболее эффективную оценку математического ожидания для нормального распределения
т. е..
Отсюда .
Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания, но и для нормального распределения еще и самой эффективной. Дисперсия среднего арифметического равна
т. е. в n раз меньше дисперсии результата наблюдения.
Определим эффективную оценку дисперсии для нормального распределения
,
откуда и ,
то есть для нормального распределения полученная оценка дисперсии является эффективной.
Для нашего случая:
кГц и кГц, кГц.
Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа).
Плотность распределения:
,
для которой
Логарифмическая функция правдоподобия для двойного экспоненциального закона распределения имеет вид
.
Эффективная оценка математического ожидания определяется из выражения
.
Для упорядоченного ряда наблюдений (x1 <x2 <… <xn)
откуда .
To есть MX — значение, стоящее посредине упорядоченного ряда наблюдений
. Оно называется медианой Me.
Эффективная оценка . определяется из выражения
откуда
.
Величина связана с X соотношением ,поэтому
.
Для нашего случая:
кГц. кГц.
Равномерное распределение.
Плотность распределения:
Так как в выражение для функции распределения не входит аргумент X, то обычная техника использования принципа максимального правдоподобия здесь неприемлема. Однако в этом случае экстремальная задача может быть решена непосредственно.
Функция правдоподобия
Параметры а и b отыскиваются из ряда наблюдений x1,x2,…xn, причем
; .
Очевидно, что решение экстремальной задачи будет достигаться в том случае, когда
; ,
т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
