Семестровая работа 2 Геометрические характеристики плоских сечений

Обозначим на рисунке 1 швеллер и двутавр номерами 1 и 2. Соответственно центры тяжести сечений С1 и С2 . Выписываем из сортамента необходимые данные. Для швеллера :
A1=46,5 см2 ; Jx1=7980 см4 ; Jy1=410 см4 ; h=33 см ; b=10,5 см ;
z0=2,59 см
Для двутавра :
A2=34,8 см2 ; Jx2=198 см4 ; Jy2=3460 см4 ; h=24 см ; b=11,5 см ;
1). Определение центра тяжести сложного сечения
В качестве произвольных осей принимаем оси x1 и y1 швеллера. В этом случае координаты центров тяжести сечений каждого элемента относительно выбранных осей будут равны (рис.1)
x1=0 ; x2=2,59+12=14,59 см
y1=0 ; y2=-16,5-5,75=-10,75 см
Координаты центра тяжести составного сечения относительно осей x1 и y1
xC=A1∙x1+A2∙x2A1+A2=46,2∙0+34,8∙14,5946,2+34,8=6,27 см
yC=A1∙y1+A2∙y2A1+A2=46,2∙0+34,8∙(-10,75)46,2+34,8=-4,62 см
Рис.1
Откладываем эти координаты от осей x1 и y1 вправо и вниз и намечаем общий центр тяжести C и оси xC и yC (рис.2)
2) . Определение положения главных центральных осей
Предварительно находим значения расстояний между центрами тяжести общего сечения и каждого сечения в отдельности :
a1=yC=4,62 см ; a2=-y2-yC=-10,75-4,62=-6,13 см
b1=-xC=-6,27 см ; b2=x2-xC=14,59-6,27=8,32 см
Определяем значения осевых моментов инерции составного сечения относительно осей xC и yC в соответствии с формулой :
JXC=Jx1+A1∙a12+Jx2+A2∙a22=7980+46,5∙4,622+198+34,8∙(-6,13)2=
=10478,19 см4
JYC=Jy1+A1∙b12+Jy2+A2∙b22=410+46,5∙(-6,27)2+3460+34,8∙8,322=
=8106,99 см4
Центробежный момент инерции сложной фигуры определяется по формуле :
JXCYC=Jx1y1+A1∙a1b1+Jx2y2+A2∙a2b2
Здесь центробежные моменты инерции швеллера и двутавра, имеющих оси симметрии, соответственно x1, y1 и x2, y2 , равны нулю.
Jx1y1=0 ; Jx2y2=0
Подставив все значения, получим :
JXCYC=0+46,5∙4,62∙-6,27+0+34,8∙-6,13∙8,32=-3121,84 см4
Находим значения главных центральных моментов инерции :
Jmax,min=JXС+JYС2±12(JXС-JYС)2+4JXСYС2=10478,19+8106,992±
±12(10478,19-8106,99)2+4∙(-3121,84)2=9292,58±6678,78
Jmax=15971,36 см4 , Jmin=2613,8 см4
Определяем положение главных центральных осей симметрии
tg2α0=2JXCYCJYC-JXC=2∙(-3121,84)8106,99-10478,19=2,633
2α0=69,2° , α0=34,6°
Откладываем угол от оси xC против часовой стрелки, т.к