С целью изучения качества пряжи была проведена 25%-ная механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты:
Крепость нити, г
Число образцов
До 160
160-180
180-200
200-220
220-247
Свыше 247 2
7
24
40
20
7
Итого: 100
На основе полученных данных вычислите:
1) среднюю крепость нити;
2) средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение;
3) коэффициент вариации;
4) с вероятностью, равной 0,997, предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити во всей партии пряжи.
5) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса образцов пряжи с весом от 160 до 240 г.
Сделайте краткие выводы.
Решение
Среднюю крепость нити будем определять по формуле средней арифметической взвешенной:
Так как первый и последний интервалы являются открытыми, то величина первого интервала принимается равной величине следующего интервала, а величина последнего интервала равной величине предыдущего интервала. Таким образом, условно принимаем:
первый интервал: 140 – 160 г
последний интервал: 247 – 274 г
Определим середины интервалов:
1 интервал: (140+160)/2 = 150 г
2 интервал: (160+180)/2 = 170 г
3 интервал: (180+200)/2 = 190 г
4 интервал: (200+220)/2 = 210 г
5 интервал: (220+247)/2 = 233,5 г
6 интервал: (247+274)/2 = 260,5 г
Дисперсия определяется по формуле:
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:
Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности
. Если V < 33% – совокупность однородна.
Составим расчетную таблицу 5.
Таблица 5
Вспомогательные расчеты
Крепость нити, г
Число проб Середина интервала, г
До 160 2 150 300,0 -59,4 7065,04
160 – 180 7 170 1190,0 -39,4 10885,83
180 – 200 24 190 4560,0 -19,4 9065,26
200 – 220 40 210 8400,0 0,6 12,77
220 – 247 20 233,5 4670,0 24,1 11582,48
Свыше 247 7 260,5 1823,5 51,1 18253,44
Итого: 100 - 20943,5 - 56864,83
Средняя крепость нити составит:
г
Определим дисперсию:
Определим среднее квадратическое отклонение:
г
Определим коэффициент вариации:
Границы генеральной средней определяются по формуле:
,
где − генеральная средняя,
− выборочная средняя,
Δ− предельная ошибка выборочной средней:
,
где − коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,997 t = 3, а при вероятности 0,954 t = 2;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;
− дисперсия признака выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборочной средней составит:
г
Определим с вероятностью 0,997 возможные границы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити во всей партии пряжи:
г
г
Границы генеральной доли определяются по формуле:
,
где р – генеральная доля,
− выборочная доля:
,
где − число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком;
n − объем выборочной совокупности;
предельная ошибка доли:
Определим выборочную долю веса образцов пряжи с весом от 160 до 240 г.:
, или 91%
Предельная ошибка выборочной доли составит:
, или 5%
Определим с вероятностью 0,954 границы удельного веса образцов пряжи с весом от 160 до 240 г.:
или
Сделаем выводы: средняя крепость нити составила 209,4 граммов
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
