Рыночный спрос на дифференцированную продукцию фирм А и В составляет
QA=100-0.9×pA+0.4×pB
QB=100-0.8×pB+0.6×pA
где pA – цена компании А, а pB – цена компании А. QA та QB – объемы продаж компаний А и В, соответственно.
Функции затрат фирм А и В составляют:
А: сQA=600+10×QA+0,25×QA2
B: сQB=25×QB+0,5×QB2
Найдите равновесие Бертрана, то есть равновесные цены и равновесные объемы производства для фирм А и В.
Постройте графики оптимальной реакции для двух фирм и изобразите графически точку равновесия.
Возьмите какую то начальную цену p0A для фирмы А и найдите соответствующую наилучшую ценовую реакцию p1B фирмы В. А потом найдите лучшую ценовую реакцию p1A фирмы А на цену p1B и т.д. Сделайте таким образом 10 итераций и изобразите их графически на площади, соответственно изобразив последовательность значений цен pA и pВ.
Сравните результаты расчётов, полученных в п 1.2 и 1.3. Сделайте выводы.
Решение
1.1. Каждая из фирм максимизирует свою прибыль. Функция прибыли фирмы А будет иметь вид:
πA = TRA – c(QA) = pAQA – 600 – 10QA – 0,25QA2 = pA*(100 – 0,9pA + 0,4pB) – 600 – 10*(100 – 0,9pA + 0,4pB) – 0,25*(100 – 0,9pA + 0,4pB)2 = 100pA – 0,9pA2 + 0,4pApB – 600 – 1000 + 9pA – 4pB – 0,25*(10000 + 0,81pA2 + 0,16pB2 – 180pA + 80pB – 0,72pApB) = 100pA – 0,9pA2 + 0,4pApB – 600 – 1000 + 9pA – 4pB – 250 – 0,2025pA2 – 0,04pB2 +45pA – 20pB +0,18pApB = 154pA – 1,1025pA2 + 0,58pApB – 1850 – 24pB – 0,04pB2.
Фирма А максимизирует при условии:
dπA/dpA = 0
154 – 2,205рA + 0,58pB = 0, отсюда
рA = 154+0,58pB2,205 – уравнение реакции фирмы А.
Определим аналогично уравнение реакции фирмы В. Функция прибыли фирмы В будет иметь вид:
πВ = TRВ – c(QВ) = pВQВ – 25QВ – 0,5QВ2 = pВ*(100 – 0,8pВ + 0,6pА) – 25*(100 – 0,8pВ + 0,6pА) – 0,5*(100 – 0,8pВ + 0,6pА)2 = 100pВ – 0,8pВ2 + 0,6pApB – 2500 + 20pВ – 15pА – 0,5*(10000 + 0,64pВ2 + 0,36pА2 – 160pВ + 120pА – 0,96pApB) = 100pВ – 0,8pВ2 + 0,6pApB – 2500 + 20pВ – 15pА – 5000 – 0,32pВ2 – 0,18pА2 + 80pВ – 60pА + 0,48pApB = 200pВ – 1,12pВ2 + 1,08pApB – 7500 – 75pА – 0,18pА2.
Фирма В максимизирует при условии:
DπВ/dpВ = 0
200 – 2,24рВ + 1,08pА = 0, отсюда
рВ = 200+1,08pА2,24 – уравнение реакции фирмы В
.
Приведем это уравнение к виду:
рA = 2,24pB-2001,08.
Равновесие по Бертрану установится при одновременном выполнении условий максимизации прибыли фирмы А и В. Приравняем уравнения реакции относительно рВ для фирм А и В и получим оптимальные значения:
рA = 154+0,58pB2,205=2,24pB-2001,08
1,08*(154 + 0,58рВ) = 2,205*(2,24рВ – 200)
166,32 + 0,6264рВ = 4,9392рВ – 441
рВ = 607,32/4,3128 ~ 140,82.
рА = 154+0,58*140,822,205 ~ 106,88.
Равновесные объемы фирм будут равны:
QA = 100 – 0,9*106,88 + 0,4*140,82 = 100 – 96,192 + 56,328 = 60,14.
QВ = 100 – 0,8*140,82 + 0,6*106,88 = 100 – 112,656 + 64,128 = 51,47.
1.2. Отобразим кривые реакции фирм А и В в пространстве цен рА и рВ. Пересечение этих кривых реакций в точке Е показывает равновесные по Бертрану цены рА и рВ.
41548052141220006096003944620Кривая реакции фирмы В
00Кривая реакции фирмы В
41338521793200041319451906905Кривая реакции фирмы А
00Кривая реакции фирмы А
38347653308985Е
00Е
2133601905рВ
рВ
54654453307715рА
рА
Рисунок 1
1.3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
