Рисунок 1 6 306-У-04 Железобетонное кольцо массой m начинает катиться из состояния покоя по
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Рисунок 1.6
306-У-04.
Железобетонное кольцо массой m начинает катиться из состояния покоя по
наклонной плоскости под действием момента Mвр. Пренебрегая
сопротивлением качению, определить закон движения центра
масс С кольца, т. е. xC=f(t), и через какой момент времени t=t1 кольцо
переместится на расстояние S1. Обоснуйте, что вращательный момент Mвр
удовлетворяет условию отсутствия проскальзывания, если коэффициент
трения скольжения равен f, определить, возможно ли качение кольца вверх
при заданных исходных данных.
Дано: m=782кг, Mвр=2744.0934985604H*м, S1=17м, f=0.59, R=0.47м,
g≈9.8м/c2.
Определить: xC=f(t), t1-?
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
xC(t)=1.653*t2, t1≈3.21c.
Решение
Используя общие теоремы динамики, составим систему уравнений,
описывающих движение кольца. Исключая силу трения скольжения Fтр из
этой системы уравнений, получим дифференциальное уравнение
зависимости угловой скорости центра масс кольца от времени.
Кольцо совершает плоскопараллельное движение. Качение происходит без
скольжения, поэтому МЦС кольца находится в точке O- соприкосновения с
неподвижной поверхностью. Силу скольжения Fтр направляем влево-
против скорости возможного проскальзывания её точки приложения, точки
O:
m*xC=Fтр-P*sinα; (1)
0=N-P*cosα; (2)
JC*φ=Mвр-Fтр*R; (3)
Момент инерции колеса:
JC=m*R2;
Согласно кинематическим связям:
φ=xC/R;
Подставим все выражения в систему уравнений
. После преобразований
получим:
m*xC=Fтр-m*g*sinα; (4)
0=N-m*g*cosα; (5)
m*xC=Mвр/R-Fтр; (6)
Складываем уравнения (4) и (6):
2*m*xC=Mвр/R-m*g*sinα;
xC=0.5*Mвр/(R*m)-0.5*g*sinα;
После подстановки числовых данных:
xC=0.5*2744.0934985604/(0.47*782)-0.5*9.8*0.087155742747658;
xC=3.733-0.427;
xC=3.306; (7)
Интегрируем дифференциальное уравнение вращения (7) дважды, с учетом
начальных условий:
xC=3.306*t+C1;
xC=1.653*t2+C1*t+C2;
При t=0, xC0=0, xC0=0:
C1=0;
C2=0;
Подставляем:
xC=1.653*t2; (8)
закон движения центра масс С кольца от времени из (8):
xC(t)=1.653*t2;
При t=t1, xC=S1=17м, из (8):
t1=S1/1.653=17/1.653≈3.21c;
Из (4), (7):
Fтр=m*xC+m*g*sinα=m*(xC+g*sinα)=782*(3.306+9.8*0.087)=
=782*(3.306+0.853)=782*4.159≈3252.338H-сила трения покоя;
Отсутствие проскальзывания реализуется, если сила трения покоя не
превышает силу трения скольжения, если это не так, то начинается
проскальзывание.
Fпоктр≈3252.338H,-сила трения покоя;
Fсктр=f*N=f*m*g*cosα=0.59*782*9.8*0.996≈4503.438H-сила трения
скольжения;
Fпоктр<Fсктр, значит при коэффициенте трения скольжения f=0.59 реализуется
условие отсутствия проскальзывания!
Условие возможности качения кольца вверх по наклонной плоскости при
исходных данных:
MC>0;
Fтр≈3252.338H;
MC=Mвр-Fтр*R=2744.0934985604-3252.338*0.47=
=2744.093-1528.599≈1215.494H*м;
Качение кольца вверх по наклонной плоскости возможно при заданных
исходных данных!
Ответ: xC(t)=1.653*t2, t1≈3.21c.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
