Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 1 - Индивидуальная схема цепи
Анализ линейных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа.
Исходные данные для расчёта:
Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы ( REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1);
параметры источников электрической энергии:
источники ЭДС
Е1=10 В;
Е2=25 В;
Е3=46 В;
источники тока
J1=0,2 А.
параметры пассивных элементов электрической цепи (значения активных сопротивлений R1 - R8):
R1=10 Ом;
R2=24 Ом;
R3=45 Ом;
R4=31 Ом;
R5=18 Ом;
R6=31 Ом;
R7=21 Ом;
R8=32 Ом.
Примечание: внутреннее сопротивление всех источников ЭДС R0=0,1 Ом.
В ходе анализа процессов в электрической цепи ( REF _Ref68726420 \h рис. 1) необходимо выполнить:
определить значения токов, протекающих через каждый элемент рассматриваемой схемы;
выполнить проверку полученных значений токов используя баланс мощностей.
Ответ
значения токов, протекающих в рассматриваемой схеме ( REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1) составляют:
I1=1,159 (А)I2=0,474 (А)I3=0,685 (А)I4=0,482 (А)I5=-0,204 (А)I6=-0,204 (А)I8=-0,004 (А)
Примечание: все расчёты, представленные в данном примере, были произведены с помощью широко применяющегося приложения Microsoft Exсel. Возможно применение и других программных продуктов доступных в глобальной сети Internet без потери точности получения результатов решаемой задачи.
Решение
Рассмотрим схему представленную на REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов, протекающих в ветвях рассматриваемой схемы I1, I2, I3, … I8. Ток I7 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом значение тока I7 может считаться известным и равным значению J1:
I7=J1 . (1)
Остальные значения токов I1 – I6 и I8 в ветвях схемы ( REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I6 и I8 необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно 5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы. Для 1-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
I2+I4-I1-I6=0. (2)
Для 2-го узла:
I1-I2-I3=0. (3)
Для 3-го узла:
I3-I4+I5=0. (4)
Для 4-го узла:
I6+J1-I8=0. (5)
или:
I8-I6=J1. (5а)
Четыре уравнения (2) - (5а) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся четыре уравнения из 7-ми необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме ( REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1) четыре независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. Для дальнейшего более детального анализа, не изменяя конфигурации схемы представленной на REF _Ref68726420 \h \* MERGEFORMAT рис. 1 её следует преобразовать следующим образом ( REF _Ref68731382 \h \* MERGEFORMAT рис. 2). В последней схеме выделяются три независимых контура без источников тока, обозначенных соответственно I-III. Направление обхода контуров определяем произвольно. Для контура I уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, будет иметь вид:
E2+E3-E1=UR2+UR0+UR1+UR0+UR0+UR3 (6)
Падения напряжения на элементах, входящих в данный контур и содержащиеся в правой части уравнения (6), преобразуем, используя закон Ома через величину токов, протекающих через соответствующие элементы. Тогда уравнение (6) запишется следующим образом:
I1R2+I1R0+I1R1+I1R0+I2R0+I2R3=E2+E3-E1 (7)
или:
I1R2+R0+R1+R0+I2R0+R3=E2+E3-E1 (8)
Рис. SEQ Рис. \* ARABIC 2 - Схема после преобразования
Для контура II уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, будет иметь следующий вид:
I2R0+R3+I3R4+I4R7=E1 (9)
Для контура III:
I4R7 I5R5 I6R6 I8R8=0 (10)
Вводим следующие обозначения:
R9=R2+R0+R1+R0R10=R0+R3 (11)
После чего, используя уравнения (8) – (10) формируем систему линейных уравнений, которую можно рассматривать как математическую модель процессов преобразования энергии в электрической цепи, представленной в виде схемы на REF _Ref68731382 \h \* MERGEFORMAT рис
. 2:
I2+I4-I1-I6=0I1-I2-I3=0I3-I4+I5=0I8-I6=J1 I1R9+I2R10=E2+E3-E1 I2R10+I3R4+I4R7=E1 I4R7 I5R5 I6R6 I8R8=0 (12)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I6 и I8. Для этих целей систему уравнений (12) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
-1I1+1∙I2+0∙I3+1∙I4+0∙I5+-1I6+0∙I8=01∙I1+-1I2+-1I3+0∙I4+0∙I5+0∙I6+0∙I8=00∙I1+0∙I2+1∙I3+-1I4+1∙I5+0∙I6+0∙I8=00∙I1+0∙I2+0∙I3+0∙I4+0∙I5+-1I6+1∙I8=J1 13 R9I1+R10I2+0∙I3+0∙I4+0∙I5+0∙I6+0∙I8=E2+E3-E10∙I1+(-R10)I2+R4I3+R7I4+0∙I5+0∙I6+0∙I8=E10∙I1+0∙I2+0∙I3+(-R7)I4+(-R5)I5+(-R6)I6+(-R8)I8=0
–1 1 0 1 0 –1 0
1 –1 –1 0 0 0 0
0 0 1 –1 1 0 0
0 0 0 0 0 –1 1
R9
R10
0 0 0 0 0
0 -R10
R4
R7
0 0 0
0 0 0 -R7
-R5
-R6
-R8
×I1I2I3I4I5I6I8=000J1E2+E3-E1E10 (14)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (14):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
–1 1 0 1 0 –1 0
1 –1 –1 0 0 0 0
0 0 1 –1 1 0 0
R=
0 0 0 0 0 –1 1
R9
R10
0 0 0 0 0
0 -R10
R4
R7
0 0 0
0 0 0 -R7
-R5
-R6
-R8
(15)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I6 и I8:
I=I1I2I3I4I5I6I8 (16)
матрица-столбец свободных членов Е:
E=000J1E2+E3-E1E10 (17)
Учитывая обозначения (15)-(17) систему уравнений (14) можно записать в следующем виде:
RI=E (18)
Полученная система уравнений (18) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.). В данной работе для решения системы уравнений (18) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу, столбец I (16) будет определяться следующим образом:
I1=∆1∆I2=∆2∆I3=∆3∆ ⋮I6=∆6∆I8=∆8∆ (19)
или:
Ik=∆k∆k=1,…, 6, 8 (20)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы системы R; ∆k, k=1,…, 6, 8 – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е.
Таким образом, для определения числовых значений токов I1 – I6 и I8, подставляем соответствующие числовые значения параметров сопротивлений и источников электрической энергии в (11), (15) и (17), при этом получаем:
R9=24+0,1+10+0,1=34,2 (Ом)R10=45+0,1=45,1 (Ом) (21)
Формируем матрицу системы (15), или матрицу коэффициентов при неизвестных R:
–1 1 0 1 0 –1 0
1 –1 –1 0 0 0 0
0 0 1 –1 1 0 0
R=
0 0 0 0 0 –1 1
34,2
45,1
0 0 0 0 0
0 -45,1
31
21
0 0 0
0 0 0 -21
-18
-31
-32
после чего вычисляем её определитель (например, с помощью приложения Microsoft Exсel):
∆=-542963
Формируем матрицу-столбец свободных членов Е (17):
E=0000,225+46-10100=0000,261100
Для определения неизвестных значений токов с помощью метода Крамера, формируем соответствующие матрицы согласно правилу (19)-(20), и вычисляем значения их определителей
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
