Рис.1. Исходная схема.
Анализ линейных электрических цепей постоянного тока
с помощью законов Кирхгофа.
Исходные данные для расчёта.
1) Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1);
2) параметры источников электрической энергии:
источники ЭДС
Е1=10 В;
Е2=21 В;
Е3=46 В;
источники тока
J1=0,3 А.
3) параметры пассивных элементов электрической цепи (значения активных сопротивлений R1 – R8):
R1=11 Ом;
R2=21 Ом;
R3=46 Ом;
R4=37 Ом;
R5=18 Ом;
R6=28 Ом;
R7=24 Ом;
R8=37 Ом;
В ходе анализа процессов в электрической цепи необходимо выполнить:
1) определить значения токов, протекающих через каждый элемент рассматриваемой схемы;
2) выполнить проверку полученных значений токов используя баланс мощностей.
Ответ
значения токов, протекающих в рассматриваемой схеме (рис.1) составляют:
I1=0,3726 (А)I2=-0,0557 (А)I3=0,4284 (А)I4=0,4284 (А)I5=-0,4299 (А)I6=0,5583 АI7=0,3 А
Решение
Перерисуем схему, представленную на рис.1 в виде, более удобном для анализа, при этом явно указав внутренние сопротивления и токи (рис.2). Определим, что в схеме 7 ветвей и 4 узла. Расставим токи в ветвях, произвольно выбрав их направления. Число токов равно числу ветвей. Ток I7 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом, значение тока I7 известно и равно значению J1:
I7=J1=0,3 А. . (1)
Рис.2. Схема для расчета
Остальные значения токов I1 – I6 в ветвях схемы рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I6 необходимо составить систему из 6-и линейных уравнений, используя законы Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа можно составить (n-1) независимых уравнений, где n – количество узлов. По первому закону Кирхгофа составим уравнения для узлов 1, 2, 4.
Для 1-го узла:
I1-I2-I3=0. (2)
Для 2-го узла:
I3-I5-I6-I7=0. (3)
Так как I7=J1, то:
I3-I5-I6=J1. (4)
Для 4-го узла:
-I1+I2+I4=0. (5)
Оставшиеся три уравнения из 6-и необходимых, запишем по второму закону Кирхгофа, предварительно выделив в рассматриваемой схеме три независимых контура, не содержащие источники тока. Направление обхода контуров выберем так, как указано на рисунке.
Для контура I имеем:
I1R2+I1R8+I2R1=E2. (6)
Для контура II:
-I2R1+I3R6+I5R7+I4R5=E1. (7)
Для контура III:
-I5R7+I6R3=E3-E1. (8)
Запишем полученные уравнения в виде системы уравнений относительно токов:
I1-I2-I3=0I3-I5-I6=J1-I1+I2+I4=0R2+R8I1+R1I2=E2-R1I2+R6I3+R5I4+R7I5=E1-R7I5+R3I6=E3-E1 9
Эта система линейных уравнений содержит 6 уравнений для 6 неизвестных, следовательно, она решаема.
Для решения системы уравнений (9) используем метод Крамера
. Так как этот метод подразумевает работу с числами, то наиболее эффективно подставить числовые значения для сопротивлений непосредственно в систему уравнений:
I1-I2-I3=0I3-I5-I6=0,3-I1+I2+I4=021+37I1+11I2=21-11I2+28I3+18I4+24I5=10-24I5+46I6=46-10 10
Систему уравнений (10) преобразуем к виду:
1I1-1I2-1I3+0I4+0I5+0I6=00I1+0I2+1I3+0I4-1I5-1I6=0,3-1I1+1I2+0I3+1I4+0I5+0I6=058I1+11I2+0I3+0I4+0I5+0I6=210I1-11I2+28I3+18I4+24I5+0I6=100I1+0I2+0I3+0I4-24I5+46I6=36 11
Запишем эту систему уравнений (11) в матричной форме:
1-1-10000010-1-1-110100581100000-1128182400000-2446I1I2I3I4I5I6=00,30211036 12
Систему уравнений (12) можно записать в следующем виде:
RI=E 13
Здесь введены следующие обозначения:
матрица сопротивлений:
R=1-1-10000010-1-1-110100581100000-1128182400000-2446 14
вектор-столбец токов:
I=I1I2I3I4I5I6 15
вектор-столбец ЭДС:
E=00,30211036 16
Согласно методу Крамера каждый из неизвестных токов, входящих в вектор-столбец I (15) будет определяться следующим образом:
Ik=∆k∆k=1,…, 6 (17)
В последнем выражении: ∆ – определитель матрицы R; ∆k ( k=1,…, 6) – определители матриц, получаемых на основании матрицы R путём замены k-го столбца на вектор-столбец Е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
