Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
4 7 13 16 6 3
где i – номер интервала, – границы интервала, , , – частота.
1.1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.
1.2. Построить гистограмму относительных частот.
1.3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .
1.4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .
1.5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .
Решение
Проведем расчеты интервалов и частот с учетом данных параметров m = 1, n = 5.
i 1 2 3 4 5 6 7 8
-4;-1,5 -1,5;1 1;3,5 3,5;6 6;8,5 8,5;11 11;13,5 13,5;16
4 7 13 27 24 16 6 3
Объем выборки , длина интервала . Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .
Таблица 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8
-4;-1,5 -1,5;1 1;3,5 3,5;6 6;8,5 8,5;11 11;13,5 13,5;16
4 7 13 27 24 16 6 3
-2,75 -0,25 2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75
0,04 0,07 0,13 0,27 0,24 0,16 0,06 0,03
0,04 0,11 0,24 0,51 0,75 0,91 0,97 1
0,016 0,028 0,052 0,108 0,096 0,064 0,024 0,012
1. Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.
Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:
График эмпирической функции распределения изображен на рис. 1.
Рис. 1
2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис
. 2.
Рис. 2
3. Найдем числовые характеристики выборки. Выборочное среднее находим по формуле , в нашем случае
Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле , в нашем случае
4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
.
Используя таблицу значений функции Лапласа находим
Вычислим , тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
5. Выдвигаем простую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина
,
где находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле . Для соблюдения условия полагают , .
Для вычисления критерия составим расчетную таблицу:
Таблица 2
I 1 2 3 4 5 6 7 8
-4;-1,5 -1,5;1 1;3,5 3,5;6 6;8,5 8,5;11 11;13,5 13,5;16
4 7 13 27 24 16 6 3
-2,75 -0,25 2,25 4,75 7,25 9,75 12,25 14,75
-1,5 1 3,5 6 8,5 11 13,5
- -1,5 1 3,5 6 8,5 11 13,5
-1,8883 -1,2525 -0,6167 0,0191 0,6549 1,2907 1,9264
- -1,8883 -1,2525 -0,6167 0,0191 0,6549 1,2907 1,9264
-0,4705 -0,3948 -0,2313 0,0076 0,2437 0,4016 0,4730 0,5
-0,5 -0,4705 -0,3948 -0,2313 0,0076 0,2437 0,4016 0,4730
0,029 0,076 0,164 0,239 0,236 0,158 0,071 0,027
2,9 7,6 16,4 23,9 23,6 15,8 7,1 2,7
10,5 16,4 23,9 23,6 15,8 9,8
0,48 -3,35 3,11 0,39 0,21 -0,8
0,231 11,235 9,673 0,151 0,046 0,708
0,022 0,687 0,405 0,006 0,003 0,072
Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем .
Критерий равен сумме элементов последней строки таблицы 2:
= 0,022+0,687+1,405+0,006+0,003+0,072 = 1,195
Находим критическую область
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
