Результаты 50 независимых наблюдений случайной величины X – фондоотдачи предприятий данной отрасли (млн. руб)

N=ni=5+24+8+7+4+2=50 – объем выборки.
Функцию правдоподобия дискретной случайной величины X
Lx1,x2,…,xn;θ=fx1; θ∙fx2; θ∙…∙fxn; θ
учитывая, что параметр θ=a и, следовательно, fx; θ=px;a=12a3x2e-ax, x>0, тогда
Lx1,x2,…,xn;a=12a3x12e-ax1∙12a3x22e-ax2∙…∙12a3xn2e-axn=12∙a3∙12∙e-a∙15∙12∙a3∙22∙e-a∙224∙12∙a3∙42∙e-a∙48∙12∙a3∙62∙e-a∙67∙12∙a3∙72∙e-a∙74∙12∙a3∙82∙e-a∙82=125∙224∙224∙27∙314∙124∙78∙210∙a15∙a72∙a24∙a21∙a12∙a6∙e-5a∙e-48a∙e-32a∙e-42a∙e-28a∙e-16a=256∙314∙78∙a15+72+24+21+12+6∙e-5+48+32+42+28+16a=C∙a150∙e-171a, где C =256∙314∙78
Функция правдоподобия имеет вид
L=C∙a150∙e-171a, где C =256∙314∙78>0
Оценкой максимального правдоподобия параметра a называют такое его значение aМП, при котором функция правдоподобия достигаем максимума.
Найдем первую производную функции правдоподобия по a
La'=Ca150'∙e-171a+a150∙e-171a'=C150∙a149∙e-171a-171∙a150∙e-171a=e-171a∙C∙150∙a149-171∙a150=3∙e-171a∙C∙50∙a149-57∙a150
Приравняем производную нулю
La'=0
3∙e-171a∙C∙50∙a149-57∙a150=0
C>0, e-171a>0, разделим обе части равенства на 3∙e-171a∙C, получим
50∙a149-57∙a150=0
a149∙50-57∙a=0
a149≠0, тогда
50-57∙a=0 ⟹ a=5057≈0,8772
Если a=0,5, тогда La'=3∙e-171a∙C∙0,5149∙50-57∙0,5>0.
Если a=1, тогда La'=3∙e-171a∙C∙1149∙50-57∙1<0.
В точке a=5057 первая производная функции правдоподобия меняет знак с плюса на минус, следовательно точка максимума функции правдоподобия
aМП=5057
Ответ: aМП=5057.