Результат и факторы:
X1 – расстояние от центра города;
X3 – общая площадь квартиры (м2);
X4 – жилая площадь квартиры (м2);
Y-цена квартиры, тыс. долл.
Таблица 1. Исходные данные
№ п/п
Y X1 X3 X4
1 115 29 70,4 51,4
2 85 18 82,8 46
3 69 11 64,5 34
4 57 7 55,1 31
5 184,6 28 83,9 65
6 56 11 32,2 17,9
7 85 9 65 39
8 265 31 169,5 80
9 60,65 15 74 37,8
10 130 21 87 57
11 46 11 44 20
12 115 29 60 40
13 70,96 12 65,7 36,9
14 39,5 17 42 20
15 78,9 20 49,3 16,9
16 60 13 64,5 32
17 100 31 93,8 58
18 51 11 64 36
19 157 25 98 68
20 123,5 31 107,5 67,5
21 55,2 12 48 15,3
22 95,5 13 80 50
23 57,6 12 63,9 31,5
24 64,5 11 58,1 34,8
25 92 17 83 46
26 100 31 73,4 52,3
27 81 20 45,5 27,8
28 65 11 32 17,3
29 110 28 65,2 44,5
30 42,1 9 40,3 19,1
31 135 25 72 35
32 39,6 11 36 18
33 57 15 61,6 34
34 80 20 35,5 17,4
35 61 14 58,1 34,8
36 69,6 13 83 53
37 250 41 152 84
38 64,5 17 64,5 30,5
39 125 28 54 30
40 152,3 29 89 55
Задание
Сделать выводы по каждому пункту задания
Составить матрицу парных коэффициентов корреляции. Оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с каждым X (Шкала Чеддока).
Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора. Название диаграммы и подписи осей
Составить уравнение парной линейной регрессии, характеризующее зависимость цены квартиры от наиболее значимого фактора.
Оценить значимость полученного уравнения регрессии по F-критерию Фишера
Оценить значимость коэффициента регрессии (по критерию Стьюдента)
Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии
Найти прогнозное значение результативного признака и доверительный интервал прогноза при значении фактора, составляющем 130% от среднего уровня
Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации для однофакторной линейной модели
Постройте уравнение парной нелинейной регрессии, y=axb (степенная функция)
Найти среднюю ошибку аппроксимации , y=axb и сравнить с линейной парной регрессией.
Построить модель формирования цены квартиры за счет двух наиболее значимых факторов.
Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации двухфакторной модели. Сделать вывод о наиболее адекватной модели из моделей парной и множественной регрессий.
Решение
1.Составим матрицу парных коэффициентов корреляции. Оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с каждым X (Шкала Чеддока).
Построим матрицу парных коэффициентов линейной корреляции, используя матричные и статистические функции Excel.
Чтобы оценить тесноту связи между значениями этих переменных, вычислим значение коэффициента корреляции средствами Excel. Для этого можно воспользоваться функцией =КОРРЕЛ( ), указав адреса четырех столбцов чисел.
Вычислим матрицу коэффициентов парной корреляции, проверим значимость коэффициентов корреляции:
Для построения корреляционного анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «Анализ данных».
Выполняем следующие действия:
Данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.
Выбрать команду «Сервис» → «Анализ данных».
В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать инструмент «Корреляция», а затем щелкнуть кнопку «ОК».
В диалоговом окне «Корреляция» в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если введены и заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке».
Выбрать параметры вывода. В данном случае «Новый рабочий лист».
«ОК»
Таблица 2. Результаты корреляционного анализа
Матрица парных коэффициентов корреляции
Y X1 X3 X4
Y 1
X1 0,806539881 1
X3 0,845551302 0,639652492 1
X4 0,826390243 0,699131345 0,926615007 1
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции начнем с анализа первого столбца матрицы, в котором расположены коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи, зависимой переменной цена квартиры с включенными в анализ факторами. Анализ показывает, что зависимая переменная, то есть цена квартиры, имеет высокую, прямую связь с общей площадью квартиры (ryx3 = 0,846), с жилая площадь квартиры (ryx4 = 0,826) и с расстоянием от центра города (ryx1 = 0,807).
2.Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора. Название диаграммы и подписи осей
Рис. 1. Зависимость результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора
В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных x и y. Можно сказать, что общая площадь квартиры оказывает весьма высокое влияние на цену квартиры.
3.Составим уравнение парной линейной регрессии, характеризующее зависимость цены квартиры от наиболее значимого фактора.
Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора X3, наиболее тесно связанного с Y.
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.
Таблица 3
1 70,4 115 8096 4956,16 13225 95,49 380,6482 0,17
2 82,8 85 7038 6855,84 7225 114,62 877,2232 0,35
3 64,5 69 4450,5 4160,25 4761 86,39 302,3596 0,25
4 55,1 57 3140,7 3036,01 3249 71,89 221,6558 0,26
5 83,9 184,6 15487,94 7039,21 34077,16 116,31 4662,868 0,37
6 32,2 56 1803,2 1036,84 3136 36,56 377,808 0,35
7 65 85 5525 4225 7225 87,16 4,664681 0,03
8 169,5 265 44917,5 28730,25 70225 248,36 276,8622 0,06
9 74 60,65 4488,1 5476 3678,4225 101,04 1631,605 0,67
10 87 130 11310 7569 16900 121,10 79,26612 0,07
11 44 46 2024 1936 2116 54,77 76,83084 0,19
12 60 115 6900 3600 13225 79,45 1264,029 0,31
13 65,7 70,96 4662,072 4316,49 5035,3216 88,24 298,5847 0,24
14 42 39,5 1659 1764 1560,25 51,68 148,3556 0,31
15 49,3 78,9 3889,77 2430,49 6225,21 62,94 254,6875 0,20
16 64,5 60 3870 4160,25 3600 86,39 696,3524 0,44
17 93,8 100 9380 8798,44 10000 131,59 997,706 0,32
18 64 51 3264 4096 2601 85,62 1198,35 0,68
19 98 157 15386 9604 24649 138,07 358,5199 0,12
20 107,5 123,5 13276,25 11556,25 15252,25 152,72 853,8094 0,24
21 48 55,2 2649,6 2304 3047,04 60,94 32,8982 0,10
22 80 95,5 7640 6400 9120,25 110,30 219,0013 0,15
23 63,9 57,6 3680,64 4083,21 3317,76 85,46 776,3431 0,48
24 58,1 64,5 3747,45 3375,61 4160,25 76,52 144,3816 0,19
25 83 92 7636 6889 8464 114,93 525,6232 0,25
26 73,4 100 7340 5387,56 10000 100,12 0,013824 0,00
27 45,5 81 3685,5 2070,25 6561 57,08 572,2042 0,30
28 32 65 2080 1024 4225 36,25 826,3212 0,44
29 65,2 110 7172 4251,04 12100 87,47 507,6772 0,20
30 40,3 42,1 1696,63 1624,09 1772,41 49,06 48,40992 0,17
31 72 135 9720 5184 18225 97,96 1372,114 0,27
32 36 39,6 1425,6 1296 1568,16 42,42 7,978202 0,07
33 61,6 57 3511,2 3794,56 3249 81,91 620,7557 0,44
34 35,5 80 2840 1260,25 6400 41,65 1470,471 0,48
35 58,1 61 3544,1 3375,61 3721 76,52 240,7429 0,25
36 83 69,6 5776,8 6889 4844,16 114,93 2054,489 0,65
37 152 250 38000 23104 62500 221,37 819,9383 0,11
38 64,5 64,5 4160,25 4160,25 4160,25 86,39 479,106 0,34
39 54 125 6750 2916 15625 70,19 3003,998 0,44
40 89 152,3 13554,7 7921 23195,29 124,18 790,62 0,18
Итого 2768,3 3746,01 307178,5 222655,91 454221,18 3746,01 29475,27 11,15
Ср
. знач. 69,21 93,65 7679,46 5566,39775 11355,53 93,65 – –
27,87 50,84
– –
776,72 2585,16
– –
;
.
Уравнение зависимости цены квартиры от общей площади квартиры можно записать в следующем виде:
.
Интерпретация параметров модели: 1,54 показывает, что при увеличении общей площади квартиры цена квартиры увеличится в среднем на 1,54 тыс. долл.; – 13,11 показывает среднюю цену квартиры, если общая площадь квартиры останется равной 0.
4.Оцените значимость полученного уравнения регрессии по F-критерию Фишера.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 71,5% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора и на 28,5% — другими факторами, не включенными в модель.
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе F-критерия Фишера:
Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном ν1 = k = 1 и ν2 = n – k – 1= 40 – 1 – 1 = 38 составляет 4,098.
Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.
5. Оценим значимость коэффициента регрессии (по критерию Стьюдента):
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью – статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .
Определим случайные ошибки , :
;
.
Тогда фактическое значение – статистики Стьюдента:
;
Фактическое значение -статистики не превосходит табличное значение: поэтому параметр случайно отличается от нуля, а статистически не значим, фактическое значение -статистики превосходит табличное значение: поэтому параметр не случайно отличается от нуля, а статистически значим.
6.Найдем доверительный интервал для коэффициента регрессии:
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Доверительные интервалы
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, принимает нулевое значение, т.е. является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, не принимает нулевого значения, т.е. является статистически значимым и несущественно отличен от нуля.
Найти прогнозное значение результативного признака и доверительный интервал прогноза при значении фактора, составляющем 130% от среднего уровня:
По исходным данным полагают, что общая площадь квартиры составляют 130% от среднего уровня, т.е.
Х3р= 69,21 ·1,3=89,97 кв.м.
Прогнозное значение ур определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующих прогнозных значений х3р
.
Ошибка прогноза составит:
.
Определим доверительный интервал прогноза для уровней значимости α =0,05:
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
.
Доверительный интервал прогноза:
тыс.долл.;
тыс.долл.
Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации для однофакторной линейной модели:
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 27,87% поскольку ошибка больше 10%, то данное уравнение нельзя использовать в качестве регрессии
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
