Решить задачу о вынужденных колебаниях конечного стержня x∈0

Постановка задачи имеет вид
utt=a2uxx+x+t, 0<x<l, t>0;
(1)
ux,0=0, utx,0=0.
(2)
u0,t=0, uxl,t=0,
(3)
Сначала найдем собственные функции задачи с однородным волновым уравнением
utt=a2uxx, 0<x<l, t>0;
(4)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
T''t+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, uxl,t=X'l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'l=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l=λC2 cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=π2+πn=π(1+2n)2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π1+2n2l2, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπ(1+2n)xl, n=0,1,2,…
Решение исходной задачи (1) − (3) с неоднородным уравнением будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
ux,t=n=0∞TntXnx=n=0∞Tntsinπ1+2nx2l.
Подставим функцию ux,t в таком виде в неоднородное уравнение (1) и начальные условия (2)
n=0∞Tn''tsinπ1+2nx2l=a2k=0∞-π21+2n24l2Tntsinπ1+2nx2l+x+t,
ux,0=n=0∞Tn0sinπ1+2nx2l=0,
utx,0=n=0∞Tn'0sinπ1+2nx2l=0.
Разложим неоднородность x+t в ряд Фурье по собственным функциям sinπ1+2nx2ln=0∞
x+t=n=0∞fnsinπ1+2nx2l+tn=0∞gnsinπ1+2nx2l.
Коэффициенты разложения равны
fn=2l0lxsinπ1+2nx2ldx=2l0lx-2lπ1+2n dcosπ1+2nx2l=
=-4π1+2nxcosπ1+2nx2l0l-0lcosπ1+2nx2ldx=
=-4π1+2nlcosπ1+2n2-2lπ1+2nsinπ1+2nx2l0l=
=8lπ21+2n2sinπ1+2n2=8l-1nπ21+2n2;
gn=2l0lsinπ1+2nx2ldx=2l⋅-2lπ1+2ncosπ1+2nx2l0l=
=-4π1+2ncosπ1+2n2-1=4π1+2n;
Подставляем полученное разложение в уравнение
n=0∞Tn''tsinπ1+2nx2l=-k=0∞a2π21+2n24l2Tntsinπ1+2nx2l+
+n=0∞fnsinπ1+2nx2l+tn=0∞gnsinπ1+2nx2l,
Учитывая полноту системы собственных функций sinπ1+2nx2ln=0∞ на отрезке [0;l] и сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях sinπ1+2nx2l, получим следующие задачи Коши для функций Tnt (n=0,1,2,…)
Tn''t=-a2π21+2n24l2Tnt+fn+gntTn0=0, Tn'0=0
Общее решение уравнения
Tnt=Ancosaπ1+2nt2l+Bnsinaπ1+2nt2l+Tnчастt
Частое решение неоднородного уравнения Tnчастt ищем исходя из вида неоднородности, т.е