Решить задачу линейного программирования графическим методом, составив ее математическую модель по описанию производственных процессов по исходным данным из таблицы.
Для изготовления двух видов продукции на предприятии используются три вида сырья . Запасы сырья каждого вида известны и равны , кг, соответственно. Количество единиц сырья , используемое на изготовление единицы продукции вида , равно , кг. Величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции , равна , Составить план выпуска продукции, чтобы при ее реализации предприятие получало максимальную прибыль и определить величину этой прибыли. При решении задачи учитывать, что переменные удовлетворяют условиям неотрицательности:
а11=8; а21=20; а31=28; а12=3; а22=74; а32=5; b1=617; b2=911; b3=379; c1=5; c2=11.
Решение
Математическая модель задачи
Переменные задачи:
x1 – объем производства продукции P1, усл. ед.;
x2 – объем производства продукции P2, усл. ед.
Тогда затраты сырья составят:
8x1+3x2 – затраты сырья A1, ед.;
20x1+74x2 – затраты сырья A2, ед.;
28x1+5x2 – затраты сырья A3, ед.
Ограничения:
Запас сырья A1 составляет 617 ед., значит, должно выполняться неравенство:
8x1+3x2≤617 (1)
Запас сырья A2составляет 911 ед., значит, должно выполняться неравенство:
20x1+74x2≤911(2)
Запас сырья A3 составляет 379 ед., значит, должно выполняться неравенство:
28x1+5x2 ≤379(3)
По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными числами:
xi≥0, i=1,2(4)
Целевая функция:
Прибыль от реализации продукции (ден. ед.):
F(X)=5x1+11x2(5)
Таким образом, получена математическая модель задачи:
Найти максимальное значение функции F(X)=5x1+11x2 при условиях:
8x1+3x2≤61720x1+74x2≤91128x1+5x2 ≤379xi≥0, i=1,2
Определение области допустимых решений (ОДР)
В неравенствах системы ограничений заменим знаки неравенств на знаки точных равенств и построим соответствующие им прямые
. Каждая прямая поделит плоскость на 2 полуплоскости, и только одна из них удовлетворяет соответствующему неравенству. Будем определять нужную полуплоскость с помощью «пробной» точки.
l1:8x1+3x2=617
x2=-83x1+6173
Строим прямую l1 по двум точкам:
x1
40 80
x2
99 -7,67
Для определения полуплоскости, определяемой неравенством I, возьмем точку (0;0) и подставим ее координаты в неравенство I:
8∙0+3∙0≤617 – верно, значит, выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0).
l2: 20x1+74x2=911
x2=-1037x1+91120
Строим прямую l2 по двум точкам:
x1
-10 30
x2
15,01 4,20
Для определения полуплоскости, определяемой неравенством II, возьмем точку (0;0) и подставим ее координаты в неравенство II:
20∙0+74∙0≤911 – верно, значит, выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0).
l3: 28x1+5x2 =379
x2=-285x1+3795
Строим прямую l3 по двум точкам:
x1
10 15
x2
19,8 -8,2
Для определения полуплоскости, определяемой неравенством III, возьмем точку (0;0) и подставим ее координаты в неравенство III:
28∙0+5∙0≤379– верно, значит, выбираем полуплоскость, содержащую точку (0;0).
Условия неотрицательности переменных определяют первую координатную четверть.
Строим полученные прямые и отмечаем найденные полуплоскости (рис. 1)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
