Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике

Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,y,t=Xx⋅Yy⋅Tt.
Подставим в исходное уравнение (1)
Xx⋅Yy⋅T''t=a2X''x⋅Yy∙T(t)+Xx⋅Y''y∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx⋅Yy⋅Tt
T''ta2Tt=X''xXx+Y''yYy=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x, y.
В результате получим два дифференциальных уравнения
T''t+a2λTt=0,
(5)
X''xXx+Y''yYy=-λ,
X''xXx=-Y''yYy-λ=-μ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X''x+μXx=0,
(6)
Y''y+νYy=0, где ν=λ-μ.
(7)
Подставляя ux,y,t в виде Xx⋅Yy⋅Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Yy⋅Tt=Xp⋅Yy⋅Tt=0;
Xx⋅Y0⋅Tt=Xx⋅Yq⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=Xp=0, Y0=Yq=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+μXx=0X0=0, Xp=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosμx+C2 sinμx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xp=C2sinμp=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений μ задачи Штурма-Лиувилля
sinμp=0
μp=πm, m=1,2,…
Собственные значения задачи равны
μm=πmp2, m=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xmx=sinπmxp, m=1,2,…
Для функции Y(y) также получили задачу Штурма-Лиувилля (аналогичную задаче для Xx)
Y''y+νY(y)=0Y0=0, Yq=0.
Собственные значения задачи равны
νn=πnq2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Yny=sinπnyq, n=1,2,…
Из равенства ν=λ-μ найдем
λmn=μm+νn=πmp2+πnq2, m=1,2,… ,n=0,1,2,…
Уравнение (5) для функции Tt примет вид
Tmn''t+a2λmnTmnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tmnt=Amncosaλmnt+Bmnsinaλmnt.
Решение ux,y,t исходной задачи представим в виде ряда по собственным функциям
ux,y,t=m=1∞n=1∞TmntXmxYny=
=m=1∞n=1∞Amncosaλmnt+Bmnsinaλmntsinπmxpsinπnyq,
utx,y,t=m=1∞n=1∞aλmn-Amnsinaλmnt+Bmncosaλmntsinπmxpsinπnyq.
Коэффициенты Amn, Bmn этого ряда найдем из начальных условий (2)
ux,y,0=m=1∞n=1∞Amnsinπmxpsinπnyq=xyp-xq-y, utx,y,0=m=1∞n=1∞aλmnBmnsinπmxpsinπnyq=2xy.
В силу полноты системы собственных функций sinπmxpsinπnyqm=1n=1∞ на прямоугольнике [0,p]×[0, q] из первого равенства следует, что коэффициенты Amn представляют собой коэффициенты разложения функции xyp-xq-y в ряд Фурье по системе собственных функций sinπmxpsinπnyqm=1n=1∞
Amn=2p⋅2q0q0pxyp-xq-ysinπmxpsinπnyqdxdy=
=4Apq0pxp-xsinπmxpdx0qyq-ysinπnyqdy
Вычислим отдельно интегралы
0pxp-xsinπmxpdx=-pπm0pxp-xdcosπmxp=
=-pπmxp-xcosπmxp0p=0-0pcosπmxpp-2xdx=
=p2π2m20pp-2xdsinπmxp=p2π2m2p-2xsinπmxp0p=0+20psinπmxpdx=
=-2p3π3m3cosπmxp0p=-2p3π3m3cosπk-1=-2p3π3m3-1m-1.
Аналогично,
0qyq-ysinπnyqdy=-2q3π3n3-1n-1.
Таким образом, коэффициенты равны
Amn=4pq∙2p3-1m-1π3m3⋅2q3-1n-1π3n3=16p2q2-1m-1-1n-1π6m3n3.
Из второго начального условия следует, что коэффициенты aλmnBmn представляют собой коэффициенты разложения функции 2xy в ряд Фурье по системе собственных функций
aλmnBmn=2p⋅2q0q0p2xy sinπmxpsinπnyqdxdy=
=8pq0px sinπmxpdx0qysinπnyqdy.
Вычислим отдельно интегралы
0px sinπmxpdx=-pπm0px dcosπmxp=-pπmxcosπmxp0p-0pcosπmxpdx=
=-pπmp-1m-pπmsinπmxp0p=0=-p2-1mπm.
Аналогично,
0qy sinπnxqdy=-q2-1nπn.
Таким образом, коэффициенты равны
Bmn=1aλmn⋅8pq∙p2-1mπm∙q2-1nπn=8pq-1m+naπ2nmλmn.
Тогда решение исходной задачи имеет вид
ux,y,t=m=1∞n=1∞16p2q2-1m-1-1n-1π6m3n3cosaλmnt+8pq-1m+naπ2nmλmnsinaλmntsinπmxpsinπnyq.
Подставляя числовые значения параметров a,p,q из (4), окончательно получим
λmn=πmp2+πnq2=π2m25,22+n26,22=π2m227,04+n238,44,
m=1,2,… ,n=0,1,2,…
ux,y,t=m=1∞n=1∞16∙5,226,22-1m-1-1n-1π6m3n3cos4,9πm227,04+n238,44t+8pq-1m+n4,9∙π2nmm227,04+n238,44sin4,9πm227,04+n238,44tsinπmx5,2sinπny6,2≈
≈m=1∞n=1∞16630∙-1m-1-1n-1π6m3n3cos4,9πm227,04+n238,44t+1,6327π2nmm227,04+n238,44sin4,9πm227,04+n238,44tsinπmx5,2sinπny6,2
Ответ:
ux,y,t≈m=1∞n=1∞16630∙-1m-1-1n-1π6m3n3cos4,9πm288,36+n292,16t+1,6327π2nmm227,04+n238,44sin4,9πm288,36+n292,16tsinπmx5,2sinπny6,2.