Решить волновое уравнение с ненулевыми граничными условиями методом разделения переменных Фурье

Имеем следующую задачу:
∂2u∂t2=256∂2u∂x2,0<x<10,t>0
u0,t=4;u10,t=10
ux,0=x3, ∂ux,0∂t=1-x2
Решение задачи представим суммой функций ux,t=u1x,t+u2x,t, где функция u1x,t=4+3x5 отвечает заданным граничным условиям. Тогда для функции u2x,t с учетом того, что ∂2u1∂t2=∂2u1∂x2=0,u1x,0=4,∂u1x,0∂t=35 получаем следующую задачу с однородными граничными условиями:
∂2u∂t2=256∂2u∂x2,0<x<10,t>0
u0,t=0;u10,t=10
ux,0=x3-4, ∂ux,0∂t=25-x2
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=256X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)256Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных . Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)256Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-256λTt=0
Пользуясь решением предыдущей задачи, можем записать
Что функции:
unx,t=Ancos8πn5t+Bnsin8πn5tsinπn10x
являются частными решениями исходного уравнения, в силу линейности и однородности которого сумма частных решений также удовлетворяет данному уравнению и граничным условиям:
ux,t=n=1∞Ancos8πn5t+Bnsin8πn5tsinπn10x
Удовлетворяем начальным условиям