Решить уравнение Лапласа ∂2u∂x2+∂2u∂y2=0 для прямоугольника методом Фурье при следующих граничных условиях

Имеем следующую задачу:
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,0<x<4,0<y<12
u0,y=1,u4,y=2y-1,ux,0=0,ux,12=0
Решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,y=X(x)Y(y)
При этом функция X(x) зависит только от x, а Y(y) – только от y.
В этом случае:
u''xx=X''(x)Y(y);u''yy=X(x)Y''(y)
Подставляем в уравнение:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
Разделяем переменные:
-Y''(y)Yy=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим -λ2):
-Y''yYy=X''xXx=-λ2
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
Y''y-λ2Yy=0X''x+λ2Xx=0
Уравнения Y''y+λ2Yy=0; X''x-λ2Xx=0 есть обыкновенные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его общее решение имеет вид:
а) λ2=0 Xx=c1x+c2;Yy=c3y+c4;
Получаем:
ux,y=(c1x+c2)(c3y+c4)
Пробуем удовлетворить начальным условиям ux,0=0,ux,12=0
c3(c1x+c2)=012c3+c4(c1x+c2)=0
Поскольку ищем ненулевые решения (X(x)≠0), то из первого уравнения:
c3=0
Тогда из второго (опять же ищем X(x)≠0), имеем только нулевые решения, поэтому λ2=0 отбрасываем.
б) λ2>0 Xx=c1cosλx+c2sinλx;Yy=c3eλy+c4e-λy;
Получаем:
ux,y=(c1cosλx+c2sinλx)(c3eλy+c4e-λy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям ux,0=0,ux,12=0
(c1cosλx+c2sinλx)(c3+c4)=0(c1cosλx+c2sinλx)(c3e12λ+c4e-12λ)=0
Поскольку ищем ненулевые решения (X(x)≠0), то из первого уравнения:
c3=-c2
И подставляем во второе (опять же ищем X(x)≠0) получаем c3=c4=0, поэтому, λ2>0 также отбрасываем.
б) λ2<0 Xx=c1eλx+c2e-λx;Yy=c3cosλy+c4sinλy;
Получаем:
ux,y=(c1eλx+c2e-λx)(c3cosλy+c4sinλy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям ux,0=0,ux,12=0
c3(c1eλx+c2e-λx)=0(c3cos12λ+c4sin12λ)(c1eλx+c2e-λx)=0
Поскольку ищем ненулевые решения (X(x)≠0), то из первого уравнения:
c3=0
Тогда из второго (опять же ищем X(x)≠0):
c4sin12λ=0 12λ=πn λ=πn12
Т.е