Решить операционным методом систему дифференциальных уравнений. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по информатике
Решить операционным методом систему дифференциальных уравнений

Решить операционным методом систему дифференциальных уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить операционным методом систему дифференциальных уравнений. y'=3z-yz'=y+z+sin2t, y0=0, z0=0

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Пусть:
y t→Yp;
y't→pYp-y0=pYp;
z t→Zp;
z't→pZp-z0=pZp;
sin2t→2p2+4;
Тогда исходная система уравнений при заданных начальных условиях запишется в операторной форме в следующем виде:
pYp=3Zp-Yp,pZp=Yp+Zp+2p2+4, p+1Yp-3Zp=0,-Yp+p-1Zp=2p2+4,
Решим систему по формулам Крамера:
∆=p+1-3-1p-1=p-1p+1--3∙-1=p2-1-3=
=p2-4;
∆y=0-32p2+4p-1=p-1∙0--3∙2p2+4=6p2+4;
∆z=p+10-12p2+4=2p2+4∙p+1-0∙-1=2∙p+1p2+4;
Получаем:
Yp=∆y∆=6p2+4p2-4=6p2+4p2-4=6p2+4p-2p+2.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
Yp=6p2+4p-2p+2=Ap+Bp2+4+Cp-2+Dp+2=
=Ap+Bp2-4+Cp2+4p+2+Dp2+4p-2p2+4p-2p+2=
=Ap3-4p+Bp2-4+Cp3+2p2+4p+8+Dp3-2p2+4p-8p2+4p-2p+2=
=A+C+Dp3+B+2C-2Dp2+-4A+4C+4Dp-4B+8C-8Dp2+4p-2p+2.
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
A+C+D=0,B+2C-2D=0,-4A+4C+4D=0,-4B+8C-8D=6, A=0,B=-34,C=316,D=-316
Значит,
Yp=-34p2+4+316p-2-316p+2=-38∙2p2+4+316∙1p-2-316∙1p+2.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Yp→-38∙sin2t+316∙e2t-316∙e-2t=yt.
Получаем:
Zp=∆y∆=2∙p+1p2+4p2-4=2p+2p2+4p2-4=2p+2p2+4p-2p+2;
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
Zp=2p+2p2+4p-2p+2=Ap+Bp2+4+Cp-2+Dp+2=
=Ap+Bp2-4+Cp2+4p+2+Dp2+4p-2p2+4p-2p+2=
=Ap3-4p+Bp2-4+Cp3+2p2+4p+8+Dp3-2p2+4p-8p2+4p-2p+2=
=A+C+Dp3+B+2C-2Dp2+-4A+4C+4Dp-4B+8C-8Dp2+4p-2p+2.
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
A+C+D=0,B+2C-2D=0,-4A+4C+4D=2,-4B+8C-8D=2, A=-14,B=-14,C=316,D=116
Значит,
Zp=-14p+14p2+4+316p-2+116p+2=
=-14∙pp2+4-18∙2p2+4+316∙1p-2+116∙1p+2.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Zp→-14∙cos2t-18∙sin2t+316∙e2t+116∙e-2t=zt.
Получили решение системы:
yt=-38∙sin2t+316∙e2t-316∙e-2t,zt=-14∙cos2t-18∙sin2t+316∙e2t+116∙e-2t.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу