Решить операционным методом дифференциальное уравнение.
x''-4x=2sin2t;x0=0;x'0=4
Решение
Пусть правая часть уравнения является оригиналом, тогда и искомая функция xt будет оригиналом. Преобразуем обе части уравнения по Лапласу, воспользовавшись формулой изображения производной оригинала:
fnt→pn∙Fp-pn-1∙f0-pn-2∙f'0-…-p∙f(n-2)0-f(n-1)0,
где ft→Fp.
Имеем:
x t→Xp;
x't→pXp-x0=pXp;
x''t→p2∙Xp-p∙x0-x'0=p2∙Xp-4;
2sin2t→2∙2p2+22=4p2+4.
Операторное уравнение имеет вид
p2∙Xp-4-4Xp=4p2+4.
Выразим отсюда Xp:
p2-4∙Xp=4p2+4+4;
Xp=4p2+20p2+4p2-4=4p2+20p2+4p-2p+2.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
Xp=4p2+20p2+4p-2p+2=Ap+Bp2+4+Cp-2+Dp+2=
=Ap+Bp2-4+Cp2+4p+2+Dp2+4p-2p2+4p-2p+2=
=Ap3-4p+Bp2-4+Cp3+2p2+4p+8+Dp3-2p2+4p-8p2+4p-2p+2=
=A+C+Dp3+B+2C-2Dp2+-4A+4C+4Dp-4B+8C-8Dp2+4p-2p+2.
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
A+C+D=0,B+2C-2D=4,-4A+4C+4D=0,-4B+8C-8D=20, A=0,B=-12,C=98,D=-98
Значит,
Xp=-12p2+4+98p-2-98p+2=-14∙2p2+4+98∙1p-2-98∙1p+2.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
Xp→-14∙sin2t+98∙e2t-98∙e-2t=xt.
Следовательно, решением заданного уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция:
xt=-14∙sin2t+98∙e2t-98∙e-2t.
на новый заказ в Автор24.
