Решить дифференциальное уравнение yt+2yt+5yt=5t∙1t

Применяем преобразование Лапласа (с учетом нулевых начальных условий):
yt Yp
yt pYp
yt p2Yp
t∙1t 1p2
И получаем операторное уравнение:
p2Yp+2pYp+5Yp=5p2
Находим изображение Yp:
p2+2p+5Yp=5p2
Yp=5p2p2+2p+5
И представляем его суммой дробей вида:
Ap+Bp2+Cp+Dp2+2p+5
Тогда:
Ap+Bp2+Cp+Dp2+2p+5=App2+2p+5+Bp2+2p+5+Cp+Dp2p2p2+2p+5=
=A+Cp3+2A+B+Dp2+5A+2Bp+5Bp2p2+2p+5≡5p2p2+2p+5
Приравниваем соответствующие коэффициенты и получаем:
A+C=02A+B+D=05A+2B=05B=5 A=-25B=1C=25D=-15
Получили:
Yp=-25∙1p+1p2+15∙2p-1p2+2p+5=-25∙1p+1p2+15∙2p-1p+12+22=
=-25∙1p+1p2+25∙p+1p+12+22-35∙1p+12+22
Используя изображения:
1t 1p
t∙1t 1p2
cosat∙1t pp2+a2
sinat∙1t ap2+a2
И применяя теорему о смещении:
eat∙ft Fp-a
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
yt=-25+t+e-t52cost-3sint2∙1t=e-t4cost-3sint+2t-410∙1t