Решение задач линейного программирования графически и численно
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Для изготовления различных изделий А и В используются три вида сырья. На производство одного килограмма изделия А требуется затратить сырья первого вида a1 кг, сырья второго вида - a2 кг, сырья третьего вида - a3 кг. На производство одного килограмма изделий B требуется затратить сырья первого вида b1 кг, сырья второго вида - b2 кг, сырья третьего вида - b3 кг.
Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве p1 кг, сырьем второго вида в количестве p2 кг, сырьем третьего вида в количестве p3 кг.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет рублей, а изделия B - рублей.
Составить план производства изделий А и В, обеспечивающих максимальную прибыль от их реализации.
В решении привести:
Описание переменных экономического процесса или объекта.
Математическую формулировку функции цели.
Ограничения, накладываемые условиями задачи.
Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями - неравенствами.
Выполнить анализ устойчивости и эффективности полученного решения.
Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц.
14. A1 = 8 b1 = 4 p1 = 220 = 9
A2 = 8 b2 = 8 p2 = 300 = 15
A3 = 5 b3 = 12 p3 = 370
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Проблема заключается в ограниченных ресурсах для получения оптимального результата. Цель: Научиться составлять математическую модель и решать ее с помощью симплекс метода.
Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество изделий вида А, ед, х2 - количество изделий вида В, ед запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (8 х1 +4х2) единиц ресурса I, (8х1 +8х2) единиц ресурса II, (5х1 +12х2) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
8x1+4х2≤2208x1+8х2≤3005x1+12x2≤370
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль составит 6х1 от реализации продукции А и 8х 2 от реализации продукции В, то есть : F = 9х1 +15х 2. →max.
Геометрическая интерпретация:
Строим вектор-градиент целевой функции FX=9x1+15x2:∇F=9;15.
(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).
Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.
Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором ∇F
.
Максимального значения функция достигает в точке: F(С), С(80/7,365/14)
Fmax=FC=9∙80/7+15*365/14=6915/14.
Выполним анализ устойчивости и эффективности полученного решения:
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 8x1+8x2=300 5x1+12x2=370 Решив систему уравнений, получим: x1 = 11.4286, x2 = 26.0714 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = 9*11.4286 + 15*26.0714 = 493.9286
Изменение коэффициентов целевой функции. Изменение значений коэффициентов c1 и c2 приводит к изменению угла наклона прямой z. Существует интервалы изменения коэффициентов c1 и c2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. Необходимо определить интервал оптимальности для отношения c1 / c2(или c2 и c1). Если значение отношения c1 / c2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным. Таким образом, в рамках анализа на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться вопросы: 1. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения. 2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
