Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В)

А) множество Парето-оптимальных распределений в данной экономике – это контрактная кривая, в каждой точке которой предельные нормы замещения благ X и Y для обоих потребителей равны.
При этом ограничения заданы общим первоначальным запасом благ х и у обоих потребителей. Общий запас блага х равен 1+3 = 4, запас блага y равен 7 + 1 = 8. Таким образом ограничения заданы уравнениями хА + хВ = 4, уА + уВ = 8, откуда хВ = 4 – хА, уВ = 8 – уА.
Определим предельные нормы замещения благ х и у для потребителей. Для потребителя А MRSxyA будет равна:
MRSxyA = MUxA/MUyA,
MUxA = dUA/dxA = 2*1/(2√xA) = 1/√xA,
MUyA = dUA/dyA = 1/(2√yA).
Подставив эти выражения, получим:
MRSxyA = (1/√xA) / ( 1/(2√yA)) = 2√yA / √xA
Для потребителя В MRSxyВ будет равна:
MRSxyВ = MUxВ/MUyВ,
MUxВ = dUВ/dxВ = 1/(2√xВ),
MUyВ = dUВ/dyВ = 2*1/ (2√yВ) = 1/√yВ
Подставив эти выражения, получим:
MRSxyВ = 1/(2√xВ) / ( 1/√yВ) = √yВ / (2√xВ)
Приравняв предельные нормы замещения благ для потребителей А и В и подставив хВ = 4 – хА, уВ = 8 – уА, выведем уравнение контрактной кривой:
MRSxyA = MRSxyВ
(2√yA) / √xA = √yВ / (2√xВ)
(2√yA) / √xA = √(8 – уА) / (2√(4 – хА)
4√yA * √(4 – хА) = √xA * √(8 – уА)
Приведем это равенство в удобную форму:
√(8 – уА) / √yA = 4*√(4 – хА) / √xA
(8 – уА)/yA = 16(4 – хА)/xA
8/уА – 1 = 64/хА – 16
8/уА = 64/хА – 15
уА = 8/(64/хА – 15)
уА = 8хА/(64 – 15хА)
Таким образом, множество Парето-оптимальных распределений в данной экономике будут представлены уравнениями:
уА = 8хА/(64 – 15хА),
хВ = 4 – хА,
уВ = 8 – уА
Отобразим это множество в коробке Эджворта (4;8) . Синим цветом показана кривая безразличия потребителя А, соответствующая первоначальному его набору благ wA = (1,7), UA = 2√1 + √7 = 2+√7. Красным цветом показана кривая безразличия потребителя В, соответствующая его первоначальному запасу wB = (3,1), UB = √3 + 2√1 = 2+√3. Точка W соответствует первоначальному распределению благ между потребителями. Черным цветом показана контрактная кривая, показывающая множество Парето-оптимальных распределений благ х и у в данной экономике между потребителями А и В. Серая область между первоначальными кривыми безразличия потребителей А и В представляет собой область потенциальных сделок обмена, повышающих благосостояние обоих потребителей (но не обязательно оптимальных). За пределами этой области потребители не будут совершать обмен, т.к. он будет уменьшать полезность хотя бы одного из них. Участок контрактной кривой внутри данной области представляет собой переговорное множество, показывающий множество сделок обмена, в результате которых в экономике достигается Парето-оптимальное состояние.
2120265361950W
00W
22498056286501297305613410223456513335000-361953973830потребитель А
00потребитель А
3049905-1943101165860-1244604
004
2120265-1257303
003
3048000-1225552
002
4015740-1225551
001
548830518669034309054286250Товар Х
00Товар Х
84010523660104932045-361950потребитель В
00потребитель В
626745857250Товар Y
00Товар Y
122110529210
Б) Цену блага Yпримем за счетную единицу, т.е