Рассматривается начально-краевая задача на интервале действительной прямой либо периодическая задача Коши для линейного эволюционного уравнения второго порядка (параболического или гиперболического типа) с постоянными коэффициентами. Требуется получить представление решения задачи в виде ряда Фурье, а также интегральное представление. Для этого:
при необходимости сделать редукцию к однородным краевым условиям и/или заменой неизвестной функции уничтожить первую производную по в операторе уравнения;
первый шаг метода Фурье: разделением переменных получить задачу Штурма – Лиувилля;
решить задачу Штурма – Лиувилля: найти собственные значения и собственные функции;
второй шаг: методом Фурье: получить и решить задачки Коши для коэффициентов разложения решения в ряд по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля;
получить общую формулу интегрального представления решения начально-краевой задачи (периодической задачи Коши);
для указанных правых частей найти коэффициенты Фурье в явном виде;
исследовать зависимость решения от параметра задачи;
визуализировать решение (построить в математических средах эволюционный диафильм или анимацию) для разных характерных и бифуркационных значений параметра задачи, выдержав необходимую глубину ряда Фурье.
где ‒ числовой параметр. Рассмотреть .
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Сделаем редукцию к однородным краевым условиям.
Краевое условие на правом конце ненулевое. Выполним редукцию:
,
от потребуем выполнения краевых условий:
.
В качестве такой функции возьмем . Определим, как изменится заданное уравнение:
,
где .
Определим, как изменится начальное условие:
.
Получаем вспомогательную задачу:
(1.1)
Первый шаг метода Фурье: разделением переменных получить задачу Штурма – Лиувилля.
Выполним подстановку в задаче
Подстановка в краевые условия дает:
,
,
так как ищем не равные тождественно нулю решения.
Подставим в однородное уравнение теплопроводности:
,
поскольку ‒ независимые переменные.
Получаем следующую задачу Штурма – Лиувилля:
(1.2)
Решаем задачу Штурма – Лиувилля: находим собственные значения и собственные функции.
Рассмотрим три случая.
а) Пусть
. Общее решение уравнения есть
.
Подставим в краевые условия:
.
Получаем тождественно равное нулю решение .
б) Пусть . Общее решение уравнения есть
.
Подставим в краевые условия:
.
Получаем тождественно равное нулю решение .
в) Пусть . Общее решение уравнения есть
.
Подставим в краевые условия:
.
Получили собственные значения. Собственные функции равны (положим ):
.
Второй шаг: методом Фурье: получить и решить задачки Коши для коэффициентов разложения решения в ряд по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля.
Общее решение вспомогательной задачи ищем в виде
.
Подставим полученное общее решение в (1.1):
где ‒ коэффициенты Фурье разложения неоднородности в ряд по собственным функциям
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
