Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов и узловых потенциалов

Число узлов у=4, количество ветвей с неизвестными токами в=6. Выбираем условно-положительные направления токов I1, I2, I3, I4, I5, I6. Определяем количество уравнений, которое необходимо и достаточно составить по МКТ. Оно равно числу независимых контуров:
в-у-1=6-4-1=3
Произвольно выбираем направление контурных токов и составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа).
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31-I22R32+I33R33=E33
Собственные сопротивления контуров:
R11=R1+R2+R4=10+5+5=20 Ом
R22=R2+R3+R5=5+5+7=17 Ом
R33=R4+R5+R6=5+7+5=17 Ом
Взаимные сопротивления контуров:
R12=R21=R2=5 Ом
R13=R31=R4=5 Ом
R23=R32=R5=7 Ом
Контурные ЭДС:
E11=E1+E2-E4=55+50-30=75 В
E22=-E2+E3-E5=-50+55-20=-15 В
E33=E4+E5+E6=30+20+55=105 В
Подставим найденные значения в систему уравнений:
20I11-5I22-5I33=75-5I11+17I22-7I33=-15-5I11-7I22+17I33=105
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (контурных токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
20-5-5-517-7-5-717∙I11I22I33=75-15105
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера . Вычисляем главный определитель системы:
Δ=20-5-5-517-7-5-717=3600
Путем замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=75-5-5-1517-7105-717=28800
Δ2=2075-5-5-15-7-510517=21600
Δ3=20-575-517-15-5-7105=39600
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=288003600=8 А
I22=Δ2Δ=216003600=6 А
I33=Δ3Δ=396003600=11 А
Определяем действительные токи ветвей:
I1=I11=8 А
I2=I11-I22=8-6=2 А
I3=I22=6 А
I4=I33- I11=11-8=3 А
I5=I33-I22=11-6=5 А
I6=I33=11 А
Определяем количество уравнений, которое необходимо и достаточно составить по МУП: у-1=6-4-1=3.
Принимаем потенциал узла равным нулю:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R1+1R4+1R6=110+15+15=0,5 См
Gbb=1R1+1R2+1R3=110+15+15=0,5 См
Gcc=1R2+1R4+1R5=15+15+17=0,543 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R1=110=0,1 См
Gac=Gca=1R4=15=0,2 См
Gbc=Gcb=1R2=15=0,2 См
Узловые токи:
в узле a: Iaa=-E1R1-E4R4+E6R6=-5510-305+555=-0,5 А
в узле b: Ibb=E1R1-E2R2-E3R3=5510-505-555=-15,5 А
в узле c: Icc=E2R2+E4R4-E5R5=505+305-207=13,143 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,5φa-0,1φb-0,2φc=-0,5-0,1φa+0,5φb-0,2φc=-15,5-0,2φa-0,2φb+0,543φc=13,143
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,5-0,1-0,2-0,10,5-0,2-0,2-0,20,543∙φaφbφc=-0,5-15,513,143
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера