Рассчитать первичные и вторичные параметры передачи симметричной кабельной цепи звездной скрутки

Первичные параметры:
R – активное сопротивление – Ом/км;
L – индуктивность – Г/км;
C – емкость – Ф/км;
G – проводимость изоляции – См/км;
вторичные параметры:
α – коэффициент затухания – дБ/км;
β – коэффициент фазы – рад/км;
υ – скорость распространения – км/с;
Zв – волновое сопротивление – Ом.
1. Расчет первичных и вторичных параметров для f1=12кГц
Вычислим значения коэффициента kr.
для алюминиевых цепей
kr=0,0082df,
где k – коэффициент вихревых токов;
f – частота в Гц.
kr1=0,0082∙1,112000=0,99~1
Следовательно, согласно таблице 5 [1]:
F(kr):0,00519
G(kr): 0,01519
H(kr): 0,053
Q(kr)0,997
Электрическое сопротивление цепи постоянному току, Ом/км, определяется по формуле:
R0=ρ4lπd2=4000∙ρπd2,
где d – диаметр проводника, мм;
l – длина проводника, км;
ρ – удельное сопротивление металла проводника при t =200C, Ом∙мм2/м:
ρа = 0,0295 Ом·мм2/м – удельное сопротивление алюминия.
R0=4000∙0,02953,14∙1,12=31,1Омм=0,0311Омкм
Потери в металле Rм для различных частот пересчитывают по формуле:
Rм'=Rм200f200
Для определения дополнительного сопротивления RМ200 используем данные при f = 200 кГц, приведенные в таблице 6 [1];
f – частота, кГц.
Rм'=8,112200=1,98 Ом/км
Дополнительное сопротивление Rм вследствие потерь на вихревые токи в соседних четверках и металлической оболочке можно рассчитать по приближенной формуле:
Rм''=0,085fn+2,Омкм
где f – частота, Гц;
n – число четверок в кабеле.
Rм''=0,085120001+2=5,38Омкм
Общее дополнительное сопротивление равно
Rм=Rм'+Rм''=1.98+5.38=7.36Омкм
Для расчета сопротивления за счет эффекта близости необходимо определить расстояние между центрами проводников a (по диагонали звездной четверки), которая зависит от типа скрутки и вида изоляции (по диагонали звездной четверки) по формуле:
a=2d1=1.41∙d1, мм
где d1 – диаметр изолированного проводника, мм:
для кордельно-бумажной и кордельно-полиэтиленовой изоляции:
d1=d+2dk+2∆л
где d – диаметр проводника;
dk – диаметр корделя;
Δл – толщина ленты.
d1=1,1+2∙0,8+2∙0,12=2,94 мм
Следовательно
a=1.41∙2,94=4,15 мм
Зная вышеуказанные параметры, находим активное электрическое сопротивление кабельной цепи переменному току, Ом/км:
R=2R0χ1+Fkr+pGkr(da)21-H(kr)(da)2+Rм,
где R0 – электрическое сопротивление цепи постоянному току, Ом/км;
Rм – дополнительное сопротивление, обусловленное потерями на вихревые токи в окружающих металлических элементах, Ом/км;
χ – коэффициент скрутки – 1,02 – 1,07;
p – коэффициент, учитывающий вид скрутки: (при парной скрутке p = 1, при звездной – p = 5, при двойной парной – p = 2);
a – расстояние между центрами проводников, мм;
F(kr), G(kr) и H(kr) – специальные функции, полученные с использованием видоизмененных функций Бесселя
R1=2∙0,0311∙1,051+0,00519+5∙0,015191,14,1521-0,0531,14,152+7,36=7,43 Ом/км,
Индуктивность симметричной кабельной цепи L рассчитывается по формуле:
L=χ4ln2a-dd+μrQ(rk)∙10-4,Гн/км
Значения специальной функции Q(kr), полученной с использованием видоизмененных функции Бесселя, для соответствующих частот приведены в таблице 5 [1] .
Относительная магнитная проницаемость для меди и алюминия r 1 .
L1=1.054ln2∙4.15-1.11.1+1∙0,997∙10-4=8.94∙10-4Гн/км
Километрическая емкость симметричной цепи, для различных типов скрутки с учетом близости металлических элементов рассчитывается по формуле:
C=χ∙εэ∙10-636∙lnaψr, Ф/км
εэ – эффективная диэлектрическая проницаемость изоляции;
Ψ – поправочный коэффициент, характеризующий близость металлической оболочки и соседних проводников.
C1=1,05∙1,3∙10-636∙ln4,15⸱0,650,55=2,4⸱10-8 Ф/км
Для звездной скрутки поправочный коэффициент Ψ
ψ=(d3+d1-d)2-a2(d3+d1-d)2+a2
где диаметр звездной группы d3 2,41⸱d1=2,41⸱2,94=7.09 мм
ψ=(7,09+2,94-1,1)2-4,152(7,09+2,94-1,1)2+4,152=0,65
Проводимость изоляции кабельной цепи рассчитывается по формуле:
G=1Rиз+ω∙С∙tgδ, См/км
При расчете проводимости изоляции G величиной 1/Rиз можно пренебречь. Круговая частота – =2f=75360 Гц
G1=75360⸱2,4⸱10-8⸱60⸱10-4=1,08⸱10-5 См/км
Вторичные параметры симметричных цепей ZВ, α, β, υ следует рассчитывать через значения первичных, а так же непосредственно через параметры цепей (а, d) и исходных материалов (εэ , tgδэ).
Волновое сопротивление симметричной цепи, Ом:
ZB=LC=8.94∙10-42,4⸱10-8=193 Ом
Коэффициент затухания симметричной цепи, Дб/км:
α=R2∙CL+G2LC∙8.69
Если в эту формулу подставить значения первичных параметров:
α=2.612000∙10-3lg(4.15-0.55)∙0.55∙12∙0.55+0.554.152+9.08∙12∙1.3∙60∙10-5=27.7 Дб/км
Коэффициент фазы, рад/км:
β=ωL∙C или β=ωεэ/с
β=753608.94∙10-4∙2,4⸱10-8=0,35
Скорость распространения энергии, км/с:
v=ωβ=1LC=cεэ=753600,35=215314,3 км/с
2. Расчет первичных и вторичных параметров для f2=40кГц
kr2=0,0082∙1,140000=1,8~2
Следовательно, согласно таблице 5 [1]:
F(kr): 0,0782
G(kr): 0,1724
H(kr): 0,169
Q(kr) 0,961
Потери в металле Rм для различных частот пересчитывают по формуле:
Rм'=8,140200=3,62 Ом/км
Дополнительное сопротивление Rм вследствие потерь на вихревые токи в соседних четверках и металлической оболочке можно рассчитать по приближенной формуле:
Rм''=0,085400001+2=9,81Омкм
Общее дополнительное сопротивление равно
Rм=13,44Омкм
Для расчета сопротивления за счет эффекта близости необходимо определить расстояние между центрами проводников a по формуле:
a=1.41∙2,94=4,15 мм
Зная вышеуказанные параметры, находим активное электрическое сопротивление кабельной цепи переменному току, Ом/км:
R2=2∙0,0311∙1,051+0,0782+5∙0,17241,14,1521-0,1691,14,152+13,44=13,51 Ом/км,
Индуктивность симметричной кабельной цепи L рассчитывается по формуле:
L2=1.054ln2∙4.15-1.11.1+1∙ 0,961∙10-4=8,90∙10-4Гн/км
Километрическая емкость симметричной цепи, для различных типов скрутки с учетом близости металлических элементов рассчитывается по формуле:
C2=1,05∙1,3∙10-636∙ln4,15⸱0,650,55=2,4⸱10-8 Ф/км
Проводимость изоляции кабельной цепи рассчитывается по формуле:
G=1Rиз+ω∙С∙tgδ, См/км
При расчете проводимости изоляции G величиной 1/Rиз можно пренебречь