Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости =0

Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффициент корреляции:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)
где , – выборочные дисперсии переменных x и y, – ковариация признаков. Соответствующие средние определяются по формулам:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) , MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3)
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) . MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)
Для расчета коэффициента корреляции (1.1) строим расчетную таблицу (табл. 1.2):
Таблица 1.2
x y xy
x2 y2 ŷ(x) y- ŷ(x) e2 x-xср
1 1602 34,2 54788,4 2566404 1169,64 34,960 -0,760 0,578 -2,875
2 1199 19,6 23500,4 1437601 384,16 21,507 -1,907 3,638 -405,875
3 1321 27,3 36063,3 1745041 745,29 25,580 1,720 2,958 -283,875
4 1678 32,5 54535 2815684 1056,25 37,497 -4,997 24,973 73,125
5 1600 33,2 53120 2560000 1102,24 34,894 -1,694 2,868 -4,875
6 1355 31,8 43089 1836025 1011,24 26,715 5,085 25,857 -249,875
7 1413 30,7 43379,1 1996569 942,49 28,651 2,049 4,198 -191,875
8 1490 32,6 48574 2220100 1062,76 31,222 1,378 1,900 -114,875
9 1616 26,7 43147,2 2611456 712,89 35,428 -8,728 76,171 11,125
10 1693 42,4 71783,2 2866249 1797,76 37,998 4,402 19,377 88,125
11 1665 37,9 63103,5 2772225 1436,41 37,063 0,837 0,700 60,125
12 1666 36,6 60975,6 2775556 1339,56 37,097 -0,497 0,247 61,125
13 1628 38,0 61864 2650384 1444 35,828 2,172 4,717 23,125
14 1604 32,7 52450,8 2572816 1069,29 35,027 -2,327 5,415 -0,875
15 2077 51,7 107380,9 4313929 2672,89 50,817 0,883 0,780 472,125
16 2071 53,0 109763 4289041 2809 50,616 2,384 5,682 466,125
Итого 25678 560,9 927517,4 42029080 20755,87 560,900 0,000 180,061
Среднее значение 1604,875 35,05625 57969,84 2626818 1297,242
сумма квадратов 819099,750
По данным таблицы находим:
Dx=x2-x2=51193,7344, σx=Dx=226,2603;
Dy=y2-y2=68,3012, σy=Dy=8,2645.
Sx2=nn-1Dx=54606,65
Sx=233,6807
Sy2=72,8546 , Sy=8,5355
cov(x,y)= xy-x∙ y=1708,9383 , rxy=1708,9383226,2603∙8,2645=0,9139.
Таким образом, между затратами на 1 корову (x) и надоями молока от 1 коровы (y) существует корреляционная зависимость.
Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитывают двухсторонний t-критерий Стьюдента:
,
который имеет распределение Стьюдента с k=n–2 и уровнем значимости .
В нашем случае
Тнабл=rxy∙n-21-rxy2=8,4243, Ткрит=Тα=0,05k=16= 2,14.
Так как Тнабл ˃ Ткрит, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля.
Для значимого коэффициента можно построить доверительный интервал, который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный коэффициент корреляции . Для построения интервальной оценки (для малых выборок n<30), используют z-преобразование Фишера:
Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому сначала строят доверительный интервал для M[z], а затем делают обратное z-преобразование.
Применяя z-преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим
z=arth r= 1,5508.
Доверительный интервал для M(z) будет иметь вид
,
где t находится с помощью функции Лапласа (t)=/2. Имеем t=1,96.
Обратное z-преобразование осуществляется по формуле
В результате находим для z:
1,0072≤z≤2,0944
0,7646≤ρ≤0,9701.
В указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции.
2. Таким образом, между переменными x и y имеется очень высокая корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной. Модель парной линейной регрессии имеет вид
y=β0+β1 x+ε, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 10)
где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, ε – случайные отклонения, β0 и β1 – параметры регрессии