Рассчитать электрическую цепь (рис 1) методом контурных токов или методом узловых потенциалов

Найдем искомые токи в ветвях цепи методом контурных токов, используя символическое (в комплексном виде) представление синусоидальных величин.
Расставим произвольно токи в ветвях цепи (см. рисунок 2).
Рисунок 2 – Схема цепи переменного тока
Приведем в комплексный вид значения токов и ЭДС, генерируемых источниками энергии цепи:
J5=J5mcosψ5+jsinψ5=1cos0,7π+jsin0,7π=-0,588+j0,809 А
J9=J9mcosψ9+jsinψ9=0,8cos-0,8π+jsin-0,8π=-0,647-j0,47 А
J10=J10mcosψ10+jsinψ10=0,6cos0,9π+jsin0,9π=-0,571+j0,185 А
E2=E2cosψ2+jsinψ2=12cos0π+jsin0π=12 В
E3=E3cosψ3+jsinψ3=13cos-0,6π+jsin-0,6π=-4,017-j12,364 В
E7=E7cosψ7+jsinψ7=14cos0,7π+jsin0,7π=-8,229+j11,326 В
E8=E8cosψ8+jsinψ8=15cos0,4π+jsin0,4π=4,635+j14,266 В
Определяем реактивные сопротивления:
XC3=1ωC3=1100π∙150∙10-6=21,221 Ом
XC4=1ωC4=1100π∙200∙10-6=15,915 Ом
XC7=1ωC7=1100π∙250∙10-6=12,732 Ом
XC12=1ωC12=1100π∙300∙10-6=10,61 Ом
XL3=ωL3=100π∙60∙10-3=18,85 Ом
XL4=ωL4=100π∙50∙10-3=15,708 Ом
XL7=ωL7=100π∙40∙10-3=12,566 Ом
XL8=ωL8=100π∙30∙10-3=9,425 Ом
XL12=ωL12=100π∙20∙10-3=6,283 Ом
Найдем в комплексном виде полные сопротивления ветвей цепи (рис. 3):
Z3=R3+jXL3-jXC3=7+j18,85-j21,221=7-j2,371 Ом
Z4=R4+jXL4-jXC4=8+j15,708-j15,915=8-j0,208 Ом
Z7=R7+jXL7-jXC7=9+j12,566-j12,732=9-j0,166 Ом
Z8=R8+jXL8=10+j9,425 Ом
Z12=R12+jXL12-jXC12=11+j6,283-j10,61=11-j4,327 Ом
Рисунок 3 – Схема замещения цепи переменного тока
Контурные токи III, IIII и IV известны:
IIII=J9=-0,647-j0,47 А
IIV=-J10=--0,571+j0,185=0,571-j0,185 А
IV=-J5=--0,588+j0,809=0,588-j0,809 А
Уравнения для расчета контурных токов в общем виде:
IIZ1,1-IIIZ1,2-IIIIZ1,3-IIVZ1,4-IVZ1,5=EI-IIZ2,1+IIIZ2,2-IIIIZ2,3-IIVZ2,4-IVZ2,5=EII
Найдем собственные сопротивления контуров:Z1,1=Z3+Z8=7-j2,371+10+j9,425=17+j7,054 Ом
Z2,2=Z3+Z4+Z7+Z12=7-j2,371+8-j0,208+9-j0,166+11-j4,327=35-j7,072 Ом
Найдем взаимные сопротивления контуров:Z1,2=Z2,1=Z3=7-j2,371 Ом
Z1,3=Z3=7-j2,371 Ом
Z1,4=Z8=10+j9,425 Ом
Z1,5=0
Z2,3=Z3+Z4+Z7=7-j2,371+8-j0,208+9-j0,166=24-j2,745 Ом
Z2,4=Z12=11-j4,327 Ом
Z2,5=Z4=8-j0,208 Ом
Найдем контурные ЭДСEI=E2-E3-E8=12--4,017-j12,364-4,635+j14,266=0,914-j8,266 В
EII=E3-E7=-4,017-j12,364--8,229+j11,326=4,212-j23,69 В
Найдем связь между контурными токами и токами в ветвях цепи:I2=II
I3=II-III-IIII
I4=III+IIII-IV
I7=-III-IIII
I8=-II+IIV
I12=-III+IIV
Подставим в систему уравнений значения параметров цепи, представленные в комплексном виде:
II17+j7,054-III-7+j2,371=13,19-j0,135-II-7+j2,371+III35-j7,072=31,045-j25,284
Разрешим полученную систему относительно контурных токов:II=0,816-j0,796 А
III=1,139-j0,707 А
Тогда искомые токи в ветвях цепи равны:I2=II=0,816-j0,796 А
I3=II-III-IIII=0,816-j0,796-1,139-j0,707--0,647-j0,47=0,324+j0,381 А
I4=III+IIII-IV=1,139-j0,707+-0,647-j0,47-0,588-j0,809=-0,096-j0,368 А
I7=-III-IIII=-1,139-j0,707--0,647-j0,47=-0,492+j1,177 А
I8=-II+IIV=-0,816-j0,796+0,571-j0,185=-0,245+j0,611 А
I12=-III+IIV=-1,139-j0,707+0,571-j0,185=-0,568+j0,521 А
Действующее значение токов:
I2=0,8162+-0,7962=1,14 А
I3=0,3242+0,3812=0,5 А
I4=-0,0962+-0,3682=0,38 А
I7=-0,4922+1,1772=1,276 А
I8=-0,2452+0,6112=0,658 А
I12=-0,5682+0,5212=0,771 А
Найдем падения напряжений на пассивных элементах цепи:
UR3=R3∙I3=7∙0,324+j0,381=2,269+j2,665 В
UL3=jXL3∙I3=j18,85∙0,324+j0,381=-7,175+j6,109 В
UC3=-jXC3∙I3=-j21,221∙0,324+j0,381=8,078-j6,877 В
UR4=R4∙I4=8∙-0,096-j0,368=-0,768-j2,944 В
UL4=jXL4∙I4=j15,708∙-0,096-j0,368=5,781-j1,508 В
UC4=-jXC4∙I4=-j15,915∙-0,096-j0,368=-5,857+j1,527 В
UR7=R7∙I7=9∙-0,492+j1,177=-4,426+j10,593 В
UL7=jXL7∙I7=j12,566∙-0,492+j1,177=-14,791-j6,18 В
UC7=-jXC7∙I7=-j12,732∙-0,492+j1,177=14,986+j6,262 В
UR8=R8∙I8=10∙-0,245+j0,611=-2,453+j6,11 В
UL8=jXL8∙I8=j9,425∙-0,245+j0,611=-5,758-j2,312 В
UR12=R12∙I12=12∙-0,568+j0,521=-6,252+j5,735 В
UL12=jXL12∙I12=j6,283∙-0,568+j0,521=-3,276-j3,571 В
UC12=-jXC12∙I12=-j10,61∙-0,568+j0,521=5,532+j6,031 В
Для составления уравнений баланса мощностей определим напряжения на зажимах источников тока:
UJ5=Z4I4=8-j0,208∙-0,096-j0,368=-0,844-j2,924 В
UJ9=Z12I12=11-j4,327∙-0,568+j0,521=-3,996+j8,195 В
UJ10=E8-Z8I8-Z12I12=4,635+j14,266-10+j9,425∙-0,245+j0,611-11-j4,327∙-0,568+j0,521=16,842+j2,273 В
Суммарная мощность источников энергии:
Sист=E2I2*-E3I3*+E7I7*+E8I8*+UJ5J5*+UJ9J9*+UJ10J10*=12∙0,816-j0,796--4,017-j12,364∙0,324+j0,381+-8,229+j11,326∙-0,492+j1,177+4,635+j14,266∙-0,245+j0,611+6,531+j4,16∙-0,588+j0,809+-0,493-j2,023∙-0,647-j0,47+-2,77+j4,128∙-0,571+j0,185=28,43+j0,618 ВА
Суммарная мощность потребителей энергии:
Sпотр=Z3I32+Z4I42+Z7I72+Z8I82+Z12I122=7-j2,371∙0,52+8-j0,208∙0,382+9-j0,166∙1,2762+=10+j9,425∙0,6582+11-j4,327∙0,7712=28,43+j0,618 ВА
Баланс мощностей:
Sист=Sпотр
28,43+j0,618 ВА=28,43+j0,618 ВА
Значения токов верны.
Таким образом, активная, реактивная и полная мощности рассматриваемой цепи соответственно равны:
P=28,43 Вт
Q=0,618 ВАр
S=P2+Q2=28,432+0,6182=28,437 ВА
Построим полярную векторную диаграмму токов для произвольно выбранного нами узла схемы рисунка 3, а именно для узла, в который втекают токи I2 и I7, и вытекает ток I3.
Полярная диаграмма строится на комплексной плоскости с соблюдением выбранного масштаба (рисунок 4).
Несложно видеть, что на построенной нами диаграмме геометрическая сумма векторов комплексных токов I2 и I7 равна комплексному току I3, что подтверждает правильность решения задачи.
Рисунок 4 – Полярная векторная диаграмма узла цепи синусоидального тока