Распределение 100 предприятий общественного питания по количеству мест в обеденном зале Х и пропускной способности Y (человек) представлено в таблице

Перепишем таблицу заменив интервалы на их середины:
Y X 550 650 750 850 950 Итого
40 2
2
60 4 3
7
80
6 8 7 1 22
100
20 10 5 35
120
4 30 34
Итого 6 9 28 21 36 100
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей c1=80, h1=60-40=20 и c2=750,h2=650-550=100
Тогда
u1=x1-c1h1=40-8020=-2; u2=x2-c1h1=60-8020=-1
u3=x3-c1h1=80-8020=0; u4=x4-c1h1=100-8020=1
u5=x5-c1h1=120-8020=2
v1=y1-c2h2=550-750100=-2; v2=y2-c2h2=650-750100=-1
v3=y3-c2h2=750-750100=0; v4=y4-c2h2=850-750100=1
v5=y5-c2h2=950-750100=2
Тогда корреляционная таблица в новых вариантах примет вид:
v
u -2 -1 0 1 2 nu
-2 2
2
-1 4 3
7
0
6 8 7 1 22
1
20 10 5 35
2
4 30 34
nv
6 9 28 21 36 100
1. Вычислить групповые средние xyj и yxi.
Вычислим групповые средние в новых вариантах:
u=1ni=15uinui=1100-2∙2-1∙7+0∙22+1∙35+2∙34=
=92100=0,92
v=1nj5vjnvj=1100-2∙6-1∙9+0∙28+1∙21+2∙36=
=72100=0,72
Находим групповые средние xyj и yxi
xyj=h1u+c1=20∙0,92+80=98,4
yxi=h2v+c2=100∙0,72+750=822
Для того, что бы построить эмпирические линии регрессии вычислим групповые средние:
yср1=550, yср2=550∙4+650∙37≈593,
yср3=650∙6+750∙8+850∙7+95022≈764
yср4=750∙20+850∙10+950∙535≈807, yср5=850∙4+950∙3034≈938
Получили
Х 40 60 80 100 120
yср
550 593 764 807 938
Аналогично рассчитываем групповые средние по хср
xср
53 73 94 97 116
Y 550 650 750 850 950
Построим эмпирические линии регрессии (Y на X, X на Y)
Рис . 9
Из вида эмпирических линий регрессии можно заключить, что между переменными наблюдается линейная зависимость.
2. Вычислить коэффициент корреляции.
rxy=u∙v∙nuv-n∙u∙vn su∙sv
Вычислим необходимые величины
su2=1ni=15ui2nui-u2=
=1100∙-22∙2+-12∙7+02∙22+12∙35+22∙34-0,922=
=186100-0,8464=1,0136
su=1,0136≈1
Тогда σx=h1su=20∙1=20
Вычислим σy
sv2=1nj=15vj2nvj-v2=
=1100∙-22∙6+-12∙9+02∙28+12∙21+22∙36-0,722=
=198100-0,52=1,46
sv=1,46≈1,208, σy=h2sv=100∙1,208=120,8
Найдем nuvvu, для чего составим расчетную таблицу
v
u -2 -1 0 1 2 v∙nuv
u∙v∙nuv
-2 -4
2
-4
-4 8
-1 -8
4
-4 -3
3
-3
-11 11
0
-6
6
0 0
8
0 7
7
0 2
1
0 3 0
1
0
20
20 10
10
10 10
5
5 20 20
2
4
4
8 60
30
60 64 128
u∙nuv
-8 -3 20 18 65
u∙v∙nuv
16 3 0 18 130
167
Получили, что uvnuv=167
Тогда коэффициент корреляции равен:
rxy=u∙v∙nuv-n∙u∙vn sv∙su=167-100∙0,92∙0,72100∙1∙1,208=100,76120,8≈0,83
Так как 0,7<rxy<0,9, то коэффициент корреляции свидетельствует о высокой тесноте связи между изучаемыми признаками, а так же то, что rxy>0 – о том, что связь прямая.
Проверим значимость коэффициента корреляции.
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy=0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy≠0, есть линейная взаимосвязь между переменными.
Для того чтобы при уровне значимости пусть α=0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 rxy≠0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)
tнабл=rn-21-r2
где r=rxy=0,83, n=100
Тогда
tнабл=0,83∙100-21-0,832=8,21660,5578=14,73
Найдем tкрит(α, k), где α=0,05, k=n-2=100-2=98.
Тогда, tкрит0,05, 98 найдем по таблице критических точек распределения Стьюдента имеем, что tкрит0,05, 98=1,985
Таким образом, имеем, что tнабл>tкрит нулевую гипотезу отвергаем и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от 0 , то есть Х и Y линейно корреляционны