Расчеты на прочность и жесткость при осевом действии нагрузок.
Схема № 21, условия № 9
Для заданного ступенчатого бруса (рис.1) требуется:
1. Разбить брус на характерные участки.
2. Составить аналитические выражения для определения внутренних усилий по каждому участку, рассчитать их величину в характерных точках и построить эпюру продольных сил.
3. Записать уравнение прочности для каждого участка бруса. Назначить размеры прямоугольного поперечного сечения из условия прочности. Построить эпюру нормальных напряжений.
4. Для каждого участка бруса составить уравнения для определения продольных деформаций; записать условие жесткости для каждого участка и из этого условия назначить размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения.
5. Сравнить размеры сечений, полученных из условия прочности и жесткости; окончательно назначить размеры, удовлетворяющие обоим условиям.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
а = 0,6м, F = 120 кН, Rp = 120МПа, Rсж = 90МПа, Δа = а/600, Е = 130ГПа, b/h = 1/2.
Рис.1 Ступенчатый брус
Решение
Изобразим брус согласно исходных данных (рис.2а).
Пользуясь методом сечений, определим продольные силы на каждом участке нагружения.
I участок: 0 ≤ z ≤ 0,6м; N1 = - F = - 120кН.
II участок: 0,6м ≤ z ≤ 1,2м; N2 = – F + 3 * F= - 120 + 3 * 120 = 240кН.
III участок: 1,2м ≤ z ≤ 3м; N3 = – F + 3 * F= - 120 + 3 * 120 = 240кН.
Строим эпюру продольных сил N (рис.2б).
Напряжения в поперечных сечениях статически определимого бруса равны:
σ1 = N1 / (1,5 * А) = - 120 * 103 / (1,5 * A) = - 80 * 103 / A.
σ2 = N2 / (2 * А) = 240 * 103 / (2 * A) = 120*103 / A
σ3 = N3 / А = 240 * 103 / A .
Строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.2в).
Условие прочности по растягивающим напряжениям:
σmax = 240 * 103 / A = Rр = 120МПа;
А = 240 * 103 / (120 * 106) = 2 * 10-3 м2.
Условие прочности по сжимающим напряжениям:
σmax = 80 * 103 / A = Rсж = 90МПа;
А = 80 * 103 / (90 * 106) = 0,89 * 10-3 м2.
Из условия прочности требуемая площадь должна быть не менее 2*10-3м2.
Площадь прямоугольника:
А = h * b = 2 * b * b = 2 * b2.
b = А2 = 2*10-32 = 31,63мм
. Принимаем b = 32мм.
h = 2 * b = 2 * 32 = 64мм.
Площадь сечения: А = h * b = 0,064 * 0,032 = 2,05 * 10-3м2
Определяем абсолютное удлинение каждого участка бруса:
λ1 = N1 * L1 / ( Е * 1,5 * А) = - F * a / (E * 1,5 * A)= - 0,67Fa/(EA).
λ2 = N2 * L2 / ( Е * 2 * А) = 2 * F * a / (E * 2 * A) = Fa/(EA).
λ3 = N3 * L3 / ( Е * А) = 2Fa/ (EA).
Из условия жесткости:
λmax = 2Fa/ (EA) ≤ Δa = а / 600 = 3 * 0,6 * 103 / 600 = 3мм.
A ≥ 2 * F * 600 / Е = 2 * 120 * 103 * 600 / (130 * 109) = 1,11 * 10-3м2
Так как площадь поперечного сечения, вычисленная из условия прочности, превышает величину площади, полученной из условия жесткости, окончательно принимаем А = 2,05 * 10-3м2.
Определяем окончательное абсолютное удлинение каждого участка бруса:
λ1 = N1 * L1 / ( Е * 1,5 * А) = -120*103*0,6 / (130*109 *1,5*2,05 * 10-3)=-0,18мм.
λ2 = N2 * L2 / ( Е * 2 * А) = 240* 103 * 0,6 / (130 * 109 * 2 * 2,05 * 10-3) =0,27мм.
λ3 = N3 * L3 / ( Е * А) = 240 * 103 * 1,8 / (130*109 * 2,05 * 10-3) = 1,62 мм.
Рис.2 Расчетная схема.
Строим эпюру линейных перемещений поперечных сечений (рис.2г):
сечение А (жесткая заделка): λА = 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
