Расчет трехфазной цепи переменного синусоидального тока
Схема цепи приведена на рис.1. Параметры цепи для варианта даны в таблице 1.Трехфазный генератор создает симметричную систему ЭДС с прямой последовательностью чередования фаз:
eAt=Emsinωt, eBt=Emsin(ωt-120°), eCt=Emsin(ωt+120°).
Рис.1. Заданная схема
Таблица 1
№ варианта Em, B f, Гц R, Ом R1, Ом R2, Ом L, Гн L1, Гн L2, Гн С, мкФ С1, мкФ С2, мкФ
12 230 220 45 27 33 0,012 0,01 0,11 22 18 20
ЗАДАНИЕ
1.Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Для симметричной части приемника расчет рекомендуется проводить на одну фазу.2.Определить активную и реактивную мощности источников ЭДС, и сравнить их с суммой активных и реактивных мощностей пассивных элементов цепи.3.Включить в цепь ваттметры для измерения активной мощности трехфазного генератора. Определить показания ваттметров.4.Построить векторные диаграммы токов и топографические диаграммы напряжений:а) для симметричной части приемника;б) для несимметричной части приемника.Векторная диаграмма токов каждой части приемника должна быть совмещена на одном графике с соответствующей топографической диаграммой.5.Построить для каждой фазы отдельные графики eA(t), iA(t), eB(t), iB(t) и eC(t), iC(t), где iA(t), iB(t), iC(t) – токи, проходящие через соответствующие источники ЭДС.
Решение
Дано: Em=230 B, f=220 Гц, R2=33 Ом, L=0,012 Гн, L1=0,01 Гн, С=22 мкФ.
Обозначим на схеме токи и напряжения (рис.2) и рассчитаем необходимые параметры.
Рис.2. Расчетная схема
1.Запишем систему фазных напряжений генератора, приняв EA=UA, EB=UB, EC=UC:
UA=Em2ej0°=2302ej0°=163ej0°=163 B
UB=Em2e-j120°=2302e-j120°=163e-j120°=-81,5- j141,162 B
UC=Em2ej120°=2302ej120°=163ej120°=-81,5 + j141,162 B
Система линейных напряжений по комплексам фазных:
UAB=UA-UB=163--81,5- j141,162=244,5+j141,162=282,324ej30° B
UBC=UB-UC=-81,5- j141,162--81,5 + j141,162=-j282,324=282,324e-j90° B
UCA=UC-UA=-81,5 + j141,162-163=-244,5+ j141,162=282,324ej150° B
2.Комплексные сопротивления реактивных элементов:
jXL=2πfL=2π∙220∙0,012=j16,588=16,588ej90° Ом
jXL1=2πfL1=2π∙220∙0,01=j13,823=13,823ej90° Ом
-jXC=-j12πfC=-j12π∙220∙22∙10-6=-j32,883=32,883e-j90° Ом
3.Для симметричной нагрузки, соединенной треугольником
ZAB=ZBC=ZCA=jXL=j16,588=16,588ej90° Ом
Фазные токи ветвей нагрузки, включенной треугольником:
IAB=UABZAB=282,324ej30°16,588ej90°=17,02e-j60°=8,51 - j14,74 A
IBC=UBCZBC=282,324e-j90°16,588ej90°=17,02e-j180°=-17,02- j0 A
ICA=UCAZCA=282,324ej150°16,588ej90°=17,02ej60°=8,51 + j14,74 A
Напряжения на индуктивных элементах нагрузки цепи, подключенной треугольником:
ULAB=IAB·jXL=17,02e-j60°∙16,588ej90°=282,324ej30° B
ULBС=IBC·jXL=17,02e-j180°∙16,588ej90°=282,324e-j90° B
ULCA=ICA·jXL=17,02ej60°∙16,588ej90°=282,324ej1500° B
4.Проводимости ветвей (фаз) нагрузки с учетом реактивных сопротивлений, найденных в п.2:
Предварительно определяем сопротивления ветвей нагрузки, включенной звездой:
ZA=jXL1-jXC=j13,823-j32,883=-j19,06=19,06e-j90° Ом
ZB=R2=33 Ом
ZC=-jXC=-j32,883=32,883e-j90° Ом
Тогда проводимости ветвей при
составят (для упрощения дальнейших расчетов воспользуемся программой Mathcad):
5.Напряжение смещения нейтрали, образованное несимметричной нагрузкой, включенной звездой:
Un=UA·Ya+UB·Yb+UC·YcYa+Yb+Yc
6.Напряжения ветвей (на фазах) нагрузки, включенной звездой:UA'=UA-Un=163--7,204+j78,964=170,204-j78,964=187,629e-j24,89° B
UB'=UB-Un=-81,5- j141,162--7,204+j78,964=-74,296-j220,126=232,326e-j108,65° В
UC'=UC-Un=-81,5+ j141,162--7,204+j78,964=-74,296+j62,198=96,894ej140,07° В
7.Токи ветвей (в фазах) нагрузки, включенной звездой:
IA'=UA'ZA=187,629e-j24,89°19,06e-j90°=9,844ej65,11°=4,143 + j8,93 A
IB'=UB'ZB=232,326e-j108,65°33=7,04e-j108,65°=-2,251 - j6,67 A
IC'=UC'ZC=96,894ej140,07°32,883e-j90°=2,947ej230,07°=-1,892 - j2,26 A
Напряжения на элементах несимметричной звезды:
в фазе A:
UXC=IA'·-jXC=9,844ej65,11°·32,883e-j90°=323,7e-j24,89°=293,634 - j136,238 B
UXL1=IA'·jXL1=9,844ej65,11°·13,823ej90°=136,074ej155.11°=-123,435 + j57,27 B
в фазе В:
UR2=IB'·R2=7,04e-j108,65°·33=232,32e-j108,65°=-74,293 - j220,121 B
в фазе С:
UXC=IC'·-jXC=2,947ej230,07°·32,883e-j90°=96,906ej140,07°=-74,31 + j62,199 B
8.Линейные токи генератора согласно расчетной схемы на рис.2 составят:
Линейный ток фазы А равен:
IA=IAB+IA'-ICA=8,51 - j14,74 +4,143 + j8,93-8,51 + j14,74=4,143-j20,55=20,963e-j78,60° AТогда мгновенное значение тока фазы А
iAt=20,9632sin(ωt+φA)=29,646sin(1381,6t-78,60°) A,
гдеω=2πf=2∙3,14∙220=1381,6 c-1
Линейный ток фазы В равен:
IB=IBC+IB'-IAB=-17,02- j0+-2,251 - j6,67-8,51 - j14,74=-27,781+j8,07=28,929ej163,80° A
Тогда мгновенное значение тока фазы В
iBt=28,9292sin(1381,6t+163,80°)=40,912sin(1381,6t+163,80°) A
Линейный ток фазы С равен:
IC=ICA+IC'-IBC=8,51 + j14,74+-1,892 - j2,26--17,02- j0=23,638+j12,48=26,73ej27,83° A
Тогда мгновенное значение тока фазы С
iCt=26,732sin(1381,6t+27,83°)=37,802sin(1381,6t+27,83°) A
9.Баланс мощностей:
Мощность источникаSист=UA·IA*+UB·IB*+UC·IC*
Sист=163ej0°∙20,963ej78,60°+163e-j120°∙28,929e-j163,80°+163ej120°∙26,73e-j27,83°=3416,969e-j78,60°+4715,427e-j283,80°+4356,99ej92,17°=675,389+ j3349,556+1124,787 + j4579,313+-164,976 + j4353,866=1635,2+j12282,735 BA
откуда активная мощность источника
Pист=1635,2 Вт
а реактивная мощность источника
Qист=12282,735 вар
Активная мощность приемников Pпр=IB'R2=7,042∙33=1635,533
реактивная мощность приемников с учетом симметричной нагрузки, подключенной треугольником
Qпр=3IAB2XL+IA'2(XL1-XC)-IC'2XC=3∙17,022∙16,588+9,8442∙(13,823-32,883)-2,9472∙32,883=12283,076 вар
Pист≈Pпр, Qист≈Qпр
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных вычислений погрешностью баланс выполняется.
10.Активная мощность по методу двух ваттметров (рис.3):
Рис.3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
