Расчет стержня на прочность и жесткость
при кручении
Для расчетной схемы награждения стержня для варианта 4 показанного на рис.26, в, а исходные данные для 4 варианта приведены в табл. 7. Ось координат x проходит по центральной оси стержня.
21021171779460%0%
Рис. 26
Таблица 7
№
варианта №
схемы l1 l2 M1 M2 G [] [] C=dв/d
мм Нм
МПа град/м
4 в 200 200 240 -40 8∙104 90 0,4 -
3014345-6570980
Требуется:
найти внутренние крутящие моменты M AB и M BC на участках АВ и ВС стержня;
подобрать размеры поперечных сечений стержня (диаметр d стержня
размер h = b стороны его квадрата) для этих участков исходя из условий прочности dAB, dBC и жесткости dAB, dBC а также принять единый размер d=h=b их поперечных сечений; найти углы АВ и ВС, закручивания участков АВ и ВС стержня и угол С поворота его свободного конца
построить эпюры внутренних крутящих моментов M x и углов x поворота сечений стержня.
Решение
Расчетная схема рис.1
Для определения внутренних крутящих моментов MAB и MBC на участках АВ и ВС стержня используем метод сечений. Для этого мысленно рассечем стержень примерно посередине участков AB и BC сечениями 1 – 1 и 2 – 2, как показано на рис. 1
Рисунок 1
Для определения внутренних крутящих моментов MAB и MBC на участках АВ и ВС стержня используем метод сечений. Для этого мысленно рассечем стержень примерно посередине участков AB и BC сечениями 1-1 и 2-2, как показано на рис. 1.
Так как поперечные сечения стержня по длине его участков АВ и ВС неизменны (d,dB,h,b=const), то для внутренних крутящих моментов MAB и MBC на этих участках справедливо M AB=M x1, M BC=M x2
где M x1 и M x2 - внутренние крутящие моменты в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 стержня.
Уравнение равновесия стержня в его произвольном сечении i можно записать в виде:
m=M xi +Mxk=0
где M xi - внутренний крутящий момент в сечении i с выбранным условно положительным направлением, показанным на рис.2;
Mxk - внешние крутящие моменты, приложенные к не отброшенной части стержня. Если M xi и Мxk при взгляде с конца на начало оси x направлены против хода часовой стрелки, то они в уравнении принимаются положительными, а если они направлены наоборот – отрицательными.
Если после расчета из уравнения крутящий момент M xi , откладываемый на его эпюре M x , положителен, то на участке через который проходит сечение i
и взгляде с конца на начало оси x стержень закручивается по ходу часовой стрелки, а отрицательный - он закручивается наоборот.
Рассмотрим сечение 1-1
Мысленно отбросим левую часть стержня по сечению 1 – 1 и в этом сечении введем неизвестный внутренний крутящий момент MAB , как показано на рис
. 2.
Рисунок 2
Для определения внутреннего крутящего момента M AB составим уравнение равновесия стержня в сечении 1-1:
Мx=-МАВ+М1-М2=0
откуда МАВ=М1-М2=240-40=200Н·м.
Рассмотрим сечение 2-2
Мысленно отбросим левую часть стержня по сечению 2 – 2 и в этом сечении введем неизвестный крутящий момент MBC , как показано на рис.3
Рисунок 3
Для определения неизвестного крутящего момента MBC составим уравнение равновесия стержня в сечении 2-2:
Мx=-МВС-М2=0
откуда МВС=-М2=-40Н·м.
Внутренний крутящий момент MBC в сечении 2 – 2 отрицателен. Следовательно, его направление на рис.3 при взгляде со стороны внешней нормали к этому сечению должно быть выбрано по ходу часовой стрелки, что характеризует, то, что стержень на участке ВС при взгляде со стороны конца оси координат x закручивается в этом же направлении.
Подбор размеров поперечных сечений на участках АВ и ВС осуществим исходя из условия прочности
max =Mmax/W[]
где max – максимальное касательное напряжение
Mmax- максимальный внутренний крутящий момент на рассматриваемом участке стержня
[]-предельно допустимое касательное напряжение
Участок АВ
Mmax=/МАВ/=200Нм
Для круглого поперечного сечения W=d3/16=0,2d3
Тогда dАВ=3/Mmax/0,2[] получаем dАВ=32000,290106 =0,0223 м
Участок ВС
Mmax=/МВС/=40Нм
Для прямоугольного поперечного сечения при h=b- квадрат W=b3/6=0,167b3
Тогда bВC=3/Mmax/0,2[] получаем bВC=3400,290106 =0,0130 м h=0,0130 м
Подбор размеров поперечных сечений на участках АВ и ВС осуществим исходя из условия жесткости.
max =Mmax/GJ[]
где max – максимальный относительный угол закручивания
Mmax- максимальный внутренний крутящий момент на рассматриваемом участке стержня
[]-предельно допустимый относительный угол закручивания
G=8*104МПа- модуль сдвига
J- полярный момент инерции
Участок АВ
Mmax=/МАВ/=200Нм
Для круглого поперечного сечения J=0,1d4
Тогда dАВ=4/Mmax/G0,1[] получаем dАВ=42008104∙0,10,4106 =0,0158 м
Участок ВС
Mmax=/МВС/=40Нм
Для прямоугольного поперечного сечения при h=b- квадрат J=b4/12=0,083b4
Тогда bВC=3/Mmax/G0,083[] получаем bВC=3408104∙0,0830,4106 =0,0111 м, h=0,0111 м
За единый размер для обоих участков примем наибольший из четырех рассчитанных выше d=dB=h=b=dАВ=0,0223 м23 мм
Абсолютные углы закручивания АВ и ВС, участков АВ и ВС стержня опре
делим из формул:
AB=Mmaxl1GJ=Mmaxl1G0,1d4=20020010381040,1234=17,86*10-3 рад
BС=Mmaxl2GJ=Mmaxl2G0,083d4=-4020010381040,083234=-4,31*10-3 рад
Определим абсолютный угол С закручивания свободного конца стержня:
А=0
В=А+АВ=0+17,86*10-3=17,86*10-3 рад
С=В+ВС=17,86*10-3-4,31*10-3=13,55*10-3 рад
Результаты расчета сведены в табл.1.
МАВ MBC dАВ
bВC
dАВ
bВC
d AB
BС
С
Н·м
мм 10-3 рад
200 -40 22,3 13 15,8 11,1 23 17,86 -4,31 13,55
По результатам расчетов строим эпюры внутренних крутящих моментов M x и абсолютных углов x закручивания сечений стержня, которые показаны рис.1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
