Расчет статически определимой многопролетной балки.
Схема балки – 18.
Дано:
Требуется:
1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил
аналитическим способом.
2. Построить линии влияния изгибающего момента M и поперечной
силы Q во всех сечениях, а также линию влияния опорной реакции R
(по выбору) от действия подвижной нагрузки.
3. Определить по линиям влияния значения изгибающего момента M,
поперечной силы Q (в любом по выбору сечении) и опорной реакции
R от заданной внешней нагрузки.
Решение
1. Кинематический анализ балки.
Цель анализа – установить число шарниров, введённых в пролёты и определить правильность их размещения.
Число шарниров определяем по формуле:
Ш=C0-3=6-3=3; (1)
где:
C0=6 – число опорных связей (3 реакции связи в точке А – жёсткая
заделка; 3 реакции связи в вертикальных стержнях в точках
E, G и H).
Число шарниров, введённых в пролёт, соответствует числу шарниров, найденному по формуле (1).
2. Строим схему взаимодействия (поэтажную схему) балки.
Рисунок 1. а) Исходная схема балки; б) поэтажная схема балки.
На схеме видно, что балки АВ и FGH – основные (имеющие собственные опоры), балка DEF – вспомогательная (имеющая одну собственную опору), балка BCD – подвесная (не имеющая собственных опор).
3. Составим расчётную схему простых балок.
Рисунок 2. Расчётная схема простых балок.
4. Найдем реакции опор в каждой простой балке и построим эпюру
моментов в каждой простой балке.
Балка BCD.
Балка BCD, загруженная сосредоточенной силой P1, является табличной расчётной схемой, реакции связи для этой балки можно определить по формуле:
RB=P1∙3a4a=P1∙34=4,5∙34=3,375 кН;
RД=P1∙a4a=P14=4,54=1,125 кН.
Рисунок 3 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке BCD
Ординаты эпюр моментов и поперечных сил для данной балки также имеют табличное значение:
Qслева от силы=RB=3,375 кН;
Qсправа от силы=-RД=-1,125 кН.
Mmax=P1∙a∙3a4a=P1∙a∙34=4,5∙1,4∙34=4,725 кН∙м.
Реакция HД в балке равна нулю.
Балка DEF.
Найдём реакции опор в балке. Составим уравнения равновесия для плоской системы сил:
∑ME=0; RД∙2a+RF∙3a=0; (1)∑MF=0; RД∙5a-RE∙3a=0. (2)
Рисунок 4 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке DEF
Из уравнения (1):
RД∙2+RF∙3=0;
RF∙3=-RД∙2;
RF=-RД∙23=-1,125∙23=-0,75 кН-реакция направлена в
противоположную сторону.
Из уравнения (2):
RД∙5-RE∙3=0;
RE∙3=RД∙5;
RE=RД∙53=1,125∙53=1,875 кН.
Построим эпюры моментов и поперечных сил в балке DEF.
Участок DE (0≤x≤2,8 м) – рассматриваем слева.
Q=-RД=-1,125 кН-на всём участке DE;
M=-RД∙x;
при x=0: M=0;
при x=2,8: M=-RД∙2,8=-1,125∙2,8=-3,15 кН∙м.
Участок EF (0≤x≤4,2 м) – рассматриваем справа.
Q=-RF=--0,75=0,75 кН-на всём участке EF;
M=RF∙x;
при x=0: M=0;
при x=4,2: M=RF∙4,2=-0,75∙4,2=-3,15 кН∙м.
Строим эпюры Q и M в балке DEF (рисунок 4).
Балка FGH.
Определяем опорные реакции.
∑MG=0; -RF∙2a+RH∙4a-M2=0; (3)∑MH=0; -RF∙6a-RG∙4a-M2=0
. (4)
Из уравнения (3):
RH∙4a=RF∙2a+M2;
RH=RF∙2a+M24a=0,75∙2,8+1,45,6=3,55,6=0,625 кН.
Из уравнения (4):
RG∙4a=-RF∙6a-M2;
RG=-RF∙6a-M24a=-0,75∙8,4-1,45,6=-7,75,6=-1,375 кН-реакция
направлена в противоположную сторону.
Строим эпюры моментов и поперечных сил.
Участок FG (0≤x≤2,8 м) – рассматриваем слева.
Q=RF=0,75 кН-на всём участке FG;
M=RF∙x;
при x=0: M=0;
при x=2,8: M=RF∙2,8=0,75∙2,8=2,1 кН∙м.
Рисунок 5 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке FGH
Участок GH (0≤x≤5,6 м) – рассматриваем справа.
Q=-RH=-0,625 кН-на всём участке GH;
M=RH∙x-M2;
при x=0: M=-M2=-1,4 кН∙м;
при x=5,6: M=0,625∙5,6-1,4=2,1 кН∙м.
Строим эпюры Q и M (рисунок 5).
Балка AB.
Рисунок 6 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке AB
Находим опорные реакции.
∑MA=0; -MA-q2∙2a∙a-RB∙2a=0; (5)∑MB=0; -MA-RA∙2a+q2∙2a∙a=0. (6)
Из уравнения (5):
MA=-q2∙2a∙a-RB∙2a=-2a∙q2∙a+RB=-2,8∙1,9∙1,4+3,375=
=-16,9 кН∙м-момент направлен в противоположную сторону.
Из уравнения (6):
RA∙2a=-MA+q2∙2a∙a;
RA=-MA+q2∙2a∙a2a=-(-16,9)+1,9∙2,8∙1,42,8=24,3482,8=8,7 кН.
Определение ординат эпюр моментов и поперечных сил.
Участок AB (0≤x≤2,8 м) – рассматриваем справа.
Q=RB+q2∙x;
при x=0: Q=RB=3,375 кН;
при x=2,8: Q=RB+q2∙2,8=3,375+1,9∙2,8=8,695 кН.
M=-RB∙x-q2∙x∙x2=-x∙RB+q2∙x2;
при x=0: M=0;
при x=2,8: M=-2,8∙RB+q2∙2,82=-2,8∙RB+q2∙1,4=
=-2,8∙3,375+1,9∙1,4=-16,9 кН∙м.
Строим окончательную эпюру моментов и поперечных сил во всей балке (рисунок 7).
Рисунок 7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
