Расчет статически определимой фермы
Плоская статически определимая ферма, принятая за расчетную схему опоры линии электропередачи, изготовлена из стержней стандартного прокатного профиля и нагружена сосредоточенными силами в узлах фермы.
1.1. Определить опорные реакции и усилия во всех стержнях фермы через параметр силы P. Результаты представить в табличной форме.
1.2. Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям при [σ]=180 МПа определить параметр нагрузки P.
Данные:
a=2,0 м; b=1,7 м;c=1,5м. Прокатный профиль: Двутавр №10.
Ответ
Стержень 1 2 3 4 5 6 7 8
Усилие 0
-P
0
-P
-1,176P
-1,176P
0
P
Стержень 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Усилие -1,543P
0
≈0
-P
1,543P
-P
0
1,176P
1,176P
P≈140 кН.
Все те стержня, значения которых отрицательные, на самом деле не сжаты, а растянуты.
ДОРАБОТКА
Составим сводную таблицу и вносим все результаты расчетов.
Заполняем графы 1,2,3,4. Длины раскосов вычисляли по теореме Пифагора.
Вычислим гибкости стержней по формуле
λj= ljimin
Для двутавра №10 радиусы инерции:
ix=4,06 см=4,06∙10-2м; iy=1,22 см=1,22∙10-2м.
imin=iy=1,22∙10-2м.
Для сжатых стержней
λ8= l8imin= 1,71,22∙10-2=139,34
λ13= l13imin= 2,621,22∙10-2=214,75
λ16=λ17= l16imin= 21,22∙10-2=163,93
Аналогично, вычислим гибкости растянутых стержней и сводим в таблицу (хотя они в расчетах не нужны).
По справочной таблице по данным гибкостям определим коэффициенты продольного изгиба для ст. 4:
φλ8=0,36
φλ13=0,17+0,162=0,165
φλ16=φλ17=0,29-0,29-0,2610∙3,93=0,278.
-80391038417500
Для нахождения промежуточных значений φ применили линейную интерполяцию.
σmax․ сж.≤φσ. (*)
σ8=N8A=PA=P∙1031,2∙10-3Па=0,833PМПа.
σ13=N13A=1,543P∙1031,2∙10-3Па=1,286PМПа.
σ16=σ17=N16A=1,176P∙1031,2∙10-3Па=0,98PМПа.
По (*)
σ8=P8A=φλ8σ;
0,833P=φλ8σ
P8=0,36∙180∙106∙1,2∙10-30,833=93349 Н=93,349 кН.
Аналогично,
P13=0,165∙180∙106∙1,2∙10-31,286=27714 Н=27,714 кН.
P16=P17=0,278∙180∙106∙1,2∙10-30,98=61273 Н=61,273 кН.
Окончательно выбираем допустимое значение силы P по продольному изгибу:
P=minP8,P13,P16,P17=27,714 кН.
Вычислим также напряжения в сжатых стержнях.
σ8=0,833P=0,833∙93,349=70,760МПа.
σ13=1,286P=1,286∙27,714=35,640МПа.
σ16=σ17=0,98P=0,98∙61,273=60,048МПа.
Номер стержня Длина стержня lj , м Усилие в стержне Nj, кН Напряжение в стержне σj,
Гибкость стержня λj Коэффициент продольного изгиба для сжатых ст. φ
Допустимое напряжение в стержне σ, МПа
Сосредоточенные нагрузки сжатых стержней, Pj, кН
Напряжение в сжатых стержнях σj, МПа
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2
0
0
- - 180
- -
2 1,5
-P
-PA
122,95
- 180
- -
3 2,5
0
0
- - 180
- -
4 1,5
-P
-PA
122,95
- 180
- -
5 2
-1,176P
-1,176PA
163,93
- 180
- -
6 2
-1,176P
-1,176PA
163,93
- 180
- -
7 2
0
0
- - 180
- -
8 1,7
P
PA
139,34
0,36
180
93,349
70,760
9 2,62
-1,543P
-1,543PA
214,75
- 180
- -
10 1,7
0
0
- - 180
- -
11 2,62
≈0
≈0
- - 180
- -
12 1,7
-P
-PA
139,34
- 180
- -
13 2,62
1,543P
1,543PA
214,75
0,165
180
27,714
35,640
14 1,7
-P
-PA
139,34
- 180
- -
15 2
0
0
- - 180
- -
16 2
1,176P
1,176PA
163,93
0,278
180
61,273
60,048
17 2
1,176P
1,176PA
163,93
0,278
180
61,273
60,048
Решение
1. Количество стержней k=17, количество узлов - n=10. Проверим условие статической определенности:
k=2n-3=2∙10-3=17.
Ферма статически определенная (жесткая и без лишних стержней).
2. Определяем значения опорных реакций.
Fix=0⟹XA=0.
mA=0⟹aRB+aP-2aP=0;⟹RB=P.
mB=0⟹-aYA-aP+2aP=0;⟹YA=RA=P.
Проверка:
Fiy=0⟹YA+RB-P-P=P+P-P-P=0;
Расчеты верны.
Определим синусы и косинусы углов между раскосами и поясами фермы.sinα=ca2+c2=0,6.
-38103810Рис. 1. Плоская ферма.
а) Исходная схема, б) расчетная схема.
A
B
a
L
1
2
3
4
5
6
7
9
10
8
11
D
a
a
α
C
H
E
K
F
а)
b
c
P
P
A
B
a=2 м
б)
b=1,7 м
c=1,5 м
P
P
YA
XA
RB
G
12
13
14
15
16
17
β
β
β
β
β
β
α
y
x
a=2 м
a=2 м
00Рис. 1. Плоская ферма.
а) Исходная схема, б) расчетная схема.
A
B
a
L
1
2
3
4
5
6
7
9
10
8
11
D
a
a
α
C
H
E
K
F
а)
b
c
P
P
A
B
a=2 м
б)
b=1,7 м
c=1,5 м
P
P
YA
XA
RB
G
12
13
14
15
16
17
β
β
β
β
β
β
α
y
x
a=2 м
a=2 м
cosα=aa2+c2=0,8.
sinβ=ba2+b2=0,648.
cosβ=aa2+b2=0,762.
Определим усилия в стержнях по методу вырезания узлов.
-12701130935N1
N2
A
P
00N1
N2
A
P
Начнем с узла A.
Fx=N1=0;Fy=P+N2=0.
N1=0.
N2=-P.
247653137535B
N1'
N3
N4
α
P
00B
N1'
N3
N4
α
P
247653137535B
N1'
N3
N4
α
P
00B
N1'
N3
N4
α
P
Узел B:
Fx=-N1'-N3cosα=0;Fy=N4+N3sinα+P=0.
N1'=N1=0;
N3=0
N4=-N3sinα-P=-P.
N4=-P.
-177805636260N15
N14
L
P
00N15
N14
L
P
Узел L:
Fx=N15=0;Fy=-P-N14=0.
N15=0.
N14=-P.
266707642225N8
N7
F
P
00N8
N7
F
P
Узел F:
Fx=-N7=0;Fy=-P+N8=0.
N7=0
N8=P.
6985694055N8'
N17
G
N9
β
00N8'
N17
G
N9
β
Узел G:
Fx=-N17-N9cosβ=0;Fy=-N8'-N9sinβ=0.
N8'=N8=P;
N9=-N8'sinβ=-1,543P
N9=-1,543P
N17=-N9cosβ=1,176P.
N17=1,176P.
-697793878882N17'
H
N10
N16
00N17'
H
N10
N16
Узел H:
Fx=N17'-N16=0;Fy=-N10=0.
N10=0
N16=N17'=N17=1,176P.
N16=1,176P.
-392846065162E
N11
N6
N7'
N4'
N9'
N10'
β
β
00E
N11
N6
N7'
N4'
N9'
N10'
β
β
Узел E:
Fx=N7'-N6+N9'cosβ-N11cosβ=0;Fy=-N4'+N10'+N9'sinβ+N11sinβ=0.
N11=N4'-N10'-N9'sinβsinβ=-P-0+1,543P∙0,6480,648=-0,00021P.
N11=-0,00021P≈0.
N6=N7'+N9'cosβ-N11cosβ=0-1,543P∙0,762+0,00021P∙0,762==-1,176P
N6=-1,176P
-22860325755K
N13
N11'
β
β
N16'
N15'
N12
00K
N13
N11'
β
β
N16'
N15'
N12
Узел K:
Fx=N16'-N15'+N11'cosβ-N13cosβ=0;Fy=-N12-N13sinβ-N11'sinβ=0.
N13=N16'-N15'+N11'cosβcosβ==1,176P-0-0,00021P∙0,7620,762=1,543P
N13=1,543P
N12=-N13sinβ-N11'sinβ=-1,543P∙0,648+0,00021P∙0,648=-1,000P
N12=-1,000P
723903623310C
N13'
β
N14'
N5
00C
N13'
β
N14'
N5
Узел C:
Fx=N5+N13'cosβ=0;Fy=N14'+N13'sinβ=0.
N5=-N13'cosβ=-1,543P∙0,762=-1,176P
N5=-1,176P
Первое уравнение системы проверочное:
N5+N13'cosβ=-1,176P+1,543P∙0,762=0,00023P≈0.
Расчеты верны.
Результаты расчетов внесем в следующую таблицу:
Стержень 1 2 3 4 5 6 7 8
Усилие 0
-P
0
-P
-1,176P
-1,176P
0
P
Стержень 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Усилие -1,543P
0
≈0
-P
1,543P
-P
0
1,176P
1,176P
Максимальное по модулю значение усилия в девятом и тринадцатом стержнях:
Nmax=N9=N13=1,543P.
Это значение и берем для расчета параметра P.
По ГОСТ 8239-89 для двутавра № 10, площадь поперечного сечения
A=12,0 см2=1,20∙10-3м2
.
Тогда максимальное напряжение в стержнях
σmax=NmaxA=1,543P1,20∙10-3=1285,83P (Па).
-2324103061335ГОСТ 8239-89
ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ
ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ
Сортамент
h — высота двутавра; b — ширина полки; s — толщина стенки; t — средняя толщина полки; R — радиус внутреннего закругления; r — радиус закругления полки
00ГОСТ 8239-89
ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ
ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ
Сортамент
h — высота двутавра; b — ширина полки; s — толщина стенки; t — средняя толщина полки; R — радиус внутреннего закругления; r — радиус закругления полки
По условию прочности при растяжении – сжатии
σmax≤[σ]=180 МПа
1285,83P=180∙106
P=180∙1061285,83=139 987,401 Н≈140 кН.
P≈140 кН.
Ответ:
Стержень 1 2 3 4 5 6 7 8
Усилие 0
-P
0
-P
-1,176P
-1,176P
0
P
Стержень 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Усилие -1,543P
0
≈0
-P
1,543P
-P
0
1,176P
1,176P
P≈140 кН.
Все те стержня, значения которых отрицательные, на самом деле не сжаты, а растянуты
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
