Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Составить систему уравнений для определения токов в ветвях методом законов Кирхгофа.
Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контура.
В схеме количество узлов nу=4 a, b, c, d и число ветвей nв=7. Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить nI=nу-1=4-1=3 уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «+», вытекающие со знаком «-»):
a:I1+I2+I6-I7=0
b: -I2-I3-I4+I7=0
c: -I1+I4+I5=0
По 2-му закону Кирхгофа составим nII=nв-nI=7-3=4 уравнения:
1к: I2R2=E2
2к: -I3R3-I6R6=-E2
3к: -I1R1-I5R5+I6R6=-E1
4к: I3R3-I4R4+I5R5=0
2. Преобразовать схему до двух контуров. Рассчитать токи во всех ветвях схемы: методом контурных токов; методом межузлового напряжения.
Сопротивления R3, R4, R5 соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
Тогда:
R34=R3∙R4R3+R4+R5=3∙33+3+4=0,9 Ом
R35=R3∙R5R3+R4+R5=3∙43+3+4=1,2 Ом
R45=R4∙R5R3+R4+R5=4∙53+3+4=1,2 Ом
Сопротивления R35 и R6 соединены последовательно, заменим их эквивалентным сопротивлением R356:
R356=R35+R6=1,2+2=3,2 Ом
Сопротивления R2, R34, R356 соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
Тогда:
R234=R2∙R34R2+R34+R356=5∙0,95+0,9+3,2=0,495 Ом
R2356=R2∙R356R2+R34+R356=5∙3,25+0,9+3,2=1,758 Ом
R3456=R34∙R356R2+R34+R356=0,9∙3,25+0,9+3,2=0,316 Ом
Сопротивления R1, R45 и R3456 соединены последовательно, заменим их эквивалентным сопротивлением R1-6:
R1-6=R1+R45+R3456=4+1,2+0,316=5,516 Ом
Метод контурных токов:
Определим число фиктивных контурных токов:
Nкт=Nв-Nу+1=3-2+1=2
Два контурных тока обозначим как I11, I22.
Составим систему уравнений:
I11R234+R2356-I22R2356=E2-I11R2356+I22R2356+R1-6=E1
Подставляем числовые значения и упрощаем систему:
I110,495+1,758-1,758I22=10-1,758I11+I221,758+5,516=40
2,253I11-1,758I22=10-1,758I11+7,275I22=40
Решая систему уравнений, находим контурные токи I11 и I22:
I22=2,253I11-101,758
-1,758I11+7,275∙2,253I11-101,758=40,
откуда
I11=10,76 А
I22=2,253I11-101,758=2,253∙10,76-101,758=8,099 А
Тогда искомые токи ветвей:
I7=I11=10,76 А
I26=I11-I22=10,76-8,099=2,661 А
I1=I22=8,099 А
Токи в непреобразованной схеме определим по законам Кирхгофа:
I2R2=E2
I2=E2R2=105=2 А
I1+I2+I6-I7=0
I6=I7-I1-I2=10,76-8,099-2=0,661 А
-I3R3-I6R6=-E2
I3=E2-I6R6R3=10-0,661∙23=2,893 А
I3-I5-I6=0
I5=I3-I6=2,893-0,661=2,231 А
-I1+I4+I5=0
I4=I1-I5=8,099-2,231=5,868 А
Метод межузлового напряжения
Определим межузловое напряжение Ufa
Записываем 1 закон Кирхгофа:
b: I1+I26-I7=0
Токи ветвей будут следующими:
I1=E1+UfaR1-6
I26=UfaR2356
I7=E2-UfaR234
Подставляем полученные выражения для токов в выражение, составленное по I-му закону Кирхгоффа:
E1+UfaR1-6+UfaR2356-E2-UfaR234=0
Тогда Ufa:
E1R1-6+UfaR1-6+UfaR2356-E2R234+UfaR234=0
Ufa1R1-6+1R2356+1R234=-E1R1-6+E2R234
Ufa=-E1R1-6+E2R2341R1-6+1R2356+1R234=-405,516+100,49515,516+11,758+10,495=4,679 В
Токи ветвей:
I1=E1+UfaR1-6=40+4,6795,516=8,099 А
I26=UfaR2356=4,6791,758=2,661 А
I7=E2-UfaR234=10-4,6790,495=10,76 А
Полученные результаты совпали с результатами расчета методом контурных токов, поэтому повторно приводить расчет остальных токов нет необходимости.
3