Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Составить систему уравнений для определения токов в ветвях методом законов Кирхгофа.
Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контуров.
В схеме количество узлов nу=4 a, b, c, d и число ветвей nв=7. Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить nI=nу-1=4-1=3 уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «-», вытекающие со знаком «+»):
a:-I3-I4-I5+I6=0
b: -I1+I2+I4=0
d: -I2-I6+I7=0
По 2-му закону Кирхгофа составим nII=nв-nI=7-3=4 уравнения:
1к: I3R3-I5R5=-E1
2к: -I1R1-I4R4+I5R5=E1
3к: -I2R2+I4R4+I6R6=0
4к: I1R1+I2R2=E2
2. Преобразовать схему до двух контуров. Рассчитать токи во всех ветвях схемы: методом контурных токов; методом межузлового напряжения.
Сопротивления R1, R3, R4 соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
R13=R1∙R3R1+R3+R4=2∙302+30+10=1,429 Ом
R14=R1∙R4R1+R3+R4=2∙102+30+10=0,476 Ом
R34=R3∙R4R1+R3+R4=30∙102+30+10=7,143 Ом
Сопротивления R14 и R2 соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление:
R124=R14+R2=0,476+1=1,476 Ом
Сопротивления R124, R34, R6 соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
R1234=R124∙R34R124+R34+R6=1,476∙7,1431,476+7,143+2=0,993 Ом
R1246=R124∙R6R124+R34+R6=1,476∙21,476+7,143+2=0,278 Ом
R346=R34∙R6R124+R34+R6=7,143∙21,476+7,143+2=1,345 Ом
Сопротивления R5 и R346, R13 и R1234 соединены последовательно, их эквивалентные сопротивления:
R3-6=R5+R346=10+1,345=11,345 Ом
R1-4=R13+R1234=1,429+0,993=2,422 Ом
Рассчитаем полученную цепь методом контурных токов . Определим число контурных токов:
Nкт=Nв-Nу+1=3-2+1=2
Два контурных тока обозначим как I11, I22. Составим систему уравнений:
I11R3-6+R1-4-I22R1-4=E1-I11R1-4+I22R1246+R1-4=E2
Подставим числовые значения и решим систему:
I1111,345+2,422-2,422I22=20-2,422I11+I220,278+2,422=40
13,767I11-2,422I22=20-2,422I11+2,7I22=40
I22=13,767I11-202,422
-2,422I11+2,713,767I11-202,422=40
откуда
I11=4,819 А
I22=19,14 А
Определим токи в ветвях через найденные контурные токи:
I5=I11=4,819 А
I13=I22-I11=19,14-4,819=2,569 А
I7=I22=19,14 А
Токи в исходной схеме определим из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
I5R5+I6R6=E1+E2, откуда
I6=E1+E2-I5R5R6=20+40-4,819∙102=5,903 А
-I2-I6+I7=0, откуда
I2=I7-I6=19,14-5,903=13,238 А
-I2R2+I4R4+I6R6=0, откуда
I4=I2R2-I6R6R4=13,238∙1-5,903∙210=0,143 А
-I3-I4-I5+I6=0, откуда
I3=I6-I5-I4=5,903-4,819-0,143=0,94 А
-I1+I2+I4=0, откуда
I1=I2+I4=13,238+0,143=13,381 А
Метод межузлового напряжения.
Для преобразованной схемы записываем первый закон Кирхгофа:
I5-I7+I13=0
По закону Ома токи ветвей буду следующими:
I5=E1+UcfR3-6
I13=UcfR1-4
I7=E2-UcfR1246
Подставляем найденные выражения в выражение по 1-му закону Кирхгофа:
E1+UcfR3-6-E2-UcfR1246+UcfR1-4=0
E1R3-6+UcfR3-6-E2R1246+UcfR1246+UcfR1-4=0
Ucf1R3-6+1R1246+1R1-4=-E1R3-6+E2R1246
Тогда
Ucf=-E1R3-6+E2R12461R3-6+1R1246+1R1-4=-2011,345+400,278111,345+10,278+12,422=34,678 В
Определяем токи I5 и I7:
I5=E1+UcfR3-6=20+34,67811,345=4,819 А
I7=E2-UcfR1246=40-34,6780,278=19,14 А
Полученные значения полностью совпадают со значениями, полученными методом контурных токов